¿Qué significa para ambas funciones ortogonales?

Question

Cuando dos finito dimensionales vectores son ortogonales, es decir, perpendiculares, su producto escalar es exactamente cero, por ejemplo, $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+\cdots+a_nb_n=0.\tag{1}$$

Cuando estudié el análisis funcional de un largo tiempo atrás, hemos utilizado funciones como "vectores" por el camino de un producto interior. Considerar las dos funciones de $f(x)=\sin x$$g(x)=\cos x$. Funciones de $f$ $g$ se dice que son ortogonales sobre $[a,b]$ si (y sólo si?) $$\langle f,g\rangle=\int_a^bf(x)g(x)dx=0,\tag{2}$$ for some interval $[a,b]$. Yo sólo aceptan esta definición, pero el otro día estaba pensando en esto...

Ahora, cuando se trata de vectores de dimensión finita satisfacer la ecuación (1) la interpretación geométrica de los dos vectores es que son perpendiculares, por ejemplo, imaginemos a dos $n$-dimensional líneas en $\mathbb{R}^n$ y la normal a cada uno de los otros.

Suponiendo que (2) se mantiene, entonces, ¿qué dice esto acerca de la $f$$g$, salvo que se llaman simplemente ortogonal? (2) implica que algunos (no necesariamente geométrica) la relación entre las funciones de $f$$g$ ?

EDITAR

No ver a estos antes, pero relacionados:

• ¿Cuál es el sentido geométrico de la interna del producto de dos funciones?
• ¿Qué ortogonalidad media en función del espacio?

Answer 1

Una vista es tomar la $L^2$ distancia:

$$d(f,g)^2=\frac{1}{b-a}\int_{a}^b |f(x)-g(x)|^2 \,dx$$

si $f(x)$ $g(x)$ son ortogonales, entonces lo que esto significa es que para cualquier real $\lambda$:

$$d(f,\lambda g)\geq d(f,0)$$

Es decir, no hay varios de $g$ está "más cerca" $f$ de cero es $f$.

Esto explica mi comentario anterior - no es lineal múltiple de $g$ que es un "mejor" aproximación a $f$.

Por supuesto, esto de alguna manera plantea la pregunta, ¿por qué la $L^2$ distancia?

Estadísticamente, se puede pensar de $d(f,0)$ como la "desviación estándar" lejos de $0$ de la función de $f$. Así que si $f$ es un error, entonces no se ajuste por un múltiplo de $g$ disminuye el error.

De nuevo, esto plantea la pregunta - ¿qué hay con los cuadrados y raíces cuadradas en la medición de la desviación estándar?

Sin duda hay algo mucho más profundo que pasa con los cuadrados y raíces cuadradas que se convierte en un lugar conveniente y útil de medir la distancia en general.

Lo que es más importante, si $f_i$ son ortogonales, es mucho más fácil minimizar:

$$d(g,\sum \lambda_i f_i)$$

Debido a que el producto escalar nos da el valor de: $$d\left(g,\sum\lambda_i f_i\right)^2 = \langle g,g\rangle +\sum_i \left(\lambda_i^2\langle f_i,f_i\rangle -2\lambda_i\langle g,f_i\rangle\right)$$

Tenga en cuenta que podemos elegir el $\lambda_i$ independientemente de minimizar cada término, ya que no hay interacción entre ellos, y un simple bit de cálculo nos da: $$\lambda_i=\frac{\langle<g,f_i\rangle}{\langle f_i,f_i\rangle}$$ es por eso que prefieren ortogonal de funciones con $\langle f_i,f_i\rangle =1$.

Cabe señalar que la Serie de Fourier muestra que hay una relación entre el $L^2$ y un tipo de infinito versión de espacio Euclidiano, $\ell^2$ cuando los vectores tienen componentes infinito, $\mathbf a=(a_i)_{i=0}^\infty$ y la norma es $\|\mathbf a\|=\sqrt{\sum a_i^2}$. Para hacer este sentido, tenemos que incluir en $\ell^2$ "vectores", donde esa distancia tiene sentido. En este espacio vectorial $\ell^2$ existe un natural punto del producto que se "hereda" en el caso finito:

$$\langle \mathbf a,\mathbf b\rangle = \sum_{i=0}^\infty a_ib_i$$

Answer 2

Bien, esto significa que el "firmado" área de la región comprendida entre la función T(x) = f(x).g(x) y el eje X es 0 (cuando se ve en el intervalo [a,b] de curso).

Este es el único sentido geométrico que puedo pensar.

Answer 3

Es muy diffuclt a hablar de la geometría en función de los espacios. Todos somos famiiliar con la geometría en espacios 2D y 3D de los espacios que encontramos en nuestra vida diaria. Uno también podría decir que él entiende la geometría de dimensiones superiores, tales como 4,5,etc. Sin embargo, tratando de entender la geometría de infinitas dimensiones que el espacio es mucho más difícil. Trate de pensar de otra forma. Busquemos la mejor aproximación de las $f$ por funciones en el subespacio generado por $g$. Usted probablemente ha visto que $(f,g)g=\int f(x)g(x)dx\cdot g(x)$ es la mejor aproximación de las $f$ en el subspaced se extendió por $g$. Luego se dice $f$ es ortogonal a $g$ significa que el cero de la función es la mejor aproximación. Mismo vale para los vectores en $\mathbb{R}^n$. Espero que te ayude.

Answer 4

Tomar una partición de $[a,b]$ a $n$ igualmente espaciados subintervalos. Aproximar una función asignando a cada subinterval su valor en el medio de que subinterval, lo que resulta en un vector en $\mathbb{R}^n$.

Para comprobar si dos funciones son ortogonales, simplemente tome su producto interior en $\mathbb{R}^n$. Es decir, se multiplican las funciones en los subintervalos y luego sumar los productos.

Cuando dejas $n\to \infty$, el producto interior se convierte en el estándar $L^2$ producto interior. Así que creo que de ortogonalidad en los términos de la expresión algebraica producto interior en $\Bbb{R}^n$, como diciendo que si tomamos una $\epsilon$-net, el resultado es $\Bbb{R}^n$ producto interior será controlada por $\epsilon$.

Answer 5

Deje $V$ ser el espacio de funciones se extendió por $f$$g$; es decir, el espacio de todas las combinaciones lineales $a f + b g$ (es decir, la función $x \mapsto a f(x) + b g(x)$) donde $a,b$ son números reales.

Entonces, asumiendo $f$ $g$ son linealmente independientes, $V$ es una de dos dimensiones interiores espacio del producto — usted realmente piensa de la misma manera como cualquier otra de dos dimensiones de espacio interior. Seguro, $V$ es una pequeña porción de todo el espacio de funciones del tipo adecuado, pero es el único sector que importa a la hora de $f$ $g$ son las únicas funciones en virtud de consideración!

De hecho, incluso se puede descomponer el espacio original de las funciones en la suma de $V$ y su complemento ortogonal $V^\bot$, de la misma manera que usted puede pensar de $\mathbb{R}^3$ como la suma de los $xy$-plane y el $z$ eje. (sólo que, en la analogía, que han complicado el espacio de funciones en lugar de la simple $z$-eje)

por ejemplo, si usted tomó algunos ortonormales base $u,v$$V$, entonces cada función puede ser escrito como un ordenado triple $h = (h_1, h_2, h_3)$ donde$h_1,h_2 \in \mathbb{R}$$h_3 \in V^\bot$, que corresponde a la función de $h = h_1u + h_2v + h_3$. A continuación, el producto interior se convierte en

$$ \langle h, k \rangle = h_1 k_1 + h_2 k_2 + \langle h_3, k_3 \rangle$$