M es un módulo sencillo si y sólo si $M\cong R/I$ para algunos he máximo ideal en R. Si $R$ es conmutativa, puedo decir que M es un campo? Estoy confundido acerca de este hecho, porque al probarlo yo uso el hecho de que M es campo... Pero entonces ¿por qué se llama módulo?
Respuestas
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$M$ es el módulo de isomorfo a $R/I$, pero eso no significa que de repente se ha convertido en un campo.
Ahora, usted puede tratar el módulo de $M$ como un anillo mediante la transferencia de la estructura de $R/I$ $M$ a través de la bijection, pero hasta que no hacerlo, $M$ no tiene ningún binario operación de multiplicación, y por lo tanto no tiene ningún sentido para llamar a un campo (o un anillo.)
GmonC
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Lo primero a decir es que $M$ se convierte en un espacio vectorial de dimensión$~1$ sobre el campo de $K=R/I$. Por supuesto, cualquier espacio vectorial es isomorfo después de elegir una base de a $K^1$, que puede ser identificado de forma evidente con $K$ sí (así que usted puede equipar $K^1$ con un interno de la multiplicación y se convierte en un campo). Sin embargo, esto no implica la elección de una sola base de vectores (que luego se convierte en el elemento neutro para la multiplicación), y diferentes opciones de dar diferentes estructuras de campo en$~M$. Por lo que sería confuso para decir que $M$ es un campo, aunque se puede hacer en un campo de varias maneras.
El punto principal aquí es que el ser isomorfo no significa tener un canoncial isomorfismo en la mano.
