La Definición Formal de Yang Mills de Lagrange

Question

Tengo una pregunta sobre el Lagrangiano no abelian teoría de gauge. Decir, $G$ es el grupo gauge y $\mathfrak g$ de los asociados a la Mentira de álgebra. El Lagrangiano es a menudo escrita como

$$ \mathcal L=-\frac {1}{4} \text{tr} (F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}) + \overline \psi (i \tilde D-m)\psi $$

con

$$ \tilde D=\gamma^\mu D_\mu \qquad D_\mu=\partial_\mu-igA_\mu $$

Como mucho lo que he entendido, en esta ecuación $\psi$ es un elemento de una representación $V$$\mathfrak g$$A_\mu \in \text{End}(V)$, ¿verdad? Lo extraño de mí ahora, es que esta ecuación tiene que ser de Lorentz-invariante, por lo que el $\psi$'s todavía están Dirac spinors, que son elementos fundamentales de la representación $\Delta$ del Álgebra de Clifford $\text{Cliff}(1,3)$. ¿Cómo debo interpretar esta ambigüedad y, en particular, ¿cómo debo calcular el $\gamma^\mu A_\mu \psi$ en coordenadas locales?

Answer 1

El campo $\psi$ no es uno de Dirac spinor sino una colección de esas: pertenece al producto tensor representación $V\otimes\Delta$, y, en consecuencia, tiene dos índices $\alpha$, $a$. En componentes (supongo que esto es lo que significa ser un local de coordenadas) se ha $$(\gamma^{\mu}A_{\mu}\psi)_a^{\alpha}=\gamma_{ab}^{\mu}A_{\mu}^{\alpha\beta}\psi^b_{\beta},$$ donde $a,b$ son spinor etiquetas y $\alpha,\beta$ son de calibre grupo de representación de las etiquetas.

Por ejemplo, cuando se $V$ fundamental es la representación de $SU(3)$, la multicomponente campo $\psi$ contiene tres Dirac spinors correspondientes a los diferentes quark colores.