La Teoría de Galois, la búsqueda de raíces de un polinomio

Question

Dado un campo $K$ (por ejemplo,$K = \mathbb Q$) y un polinomio $p \in K[X]$ cíclico con grupo de Galois $C_n$, a continuación, sólo tiene que lindan con un $n$th raíz de algún elemento $k \in K(\zeta_n)$ $K(\zeta_n)$para obtener la división de campo de $L=K(\zeta_n,\sqrt[n]{k})$$p$. Realmente es posible encontrar el número de $k$.

Se dice que las raíces de $p$ se encuentran en este campo $L$, me gustaría saber cómo usted puede encontrar estas raíces?

Answer 1

Deje $G\cong C_n$ ser el grupo de Galois de $L/K(\zeta_n)$ con generador de $\sigma$ donde $\zeta_n$ es un fijo primitivo $n$-ésima raíz de la unidad. Permítanme también suponer sin pérdida de generalidad que $p$ es irreducible sobre $K(\zeta_n)$. Si lo piensas un poco, te das cuenta de que los elementos $\alpha=\sqrt[n]{k}$ se caracterizan por el hecho de que $\sigma^i(\alpha)=\zeta_n^i\alpha$ todos los $i$. Esto es esencialmente Kummer teoría. Que da una idea de cómo encontrar $k$:

Deje $\beta$ ser una raíz de $p$. Entonces, es fácil convencerse de que $$ \alpha=\sum_{i=0}^{n-1}\zeta_n^{-i}\sigma^i(\beta) $$ no satisfacer la necesaria transformación de la propiedad. Que la propiedad implica en particular que $\sigma$ corrige $\alpha^n$, y así tendremos $k=\alpha^n\in K(\zeta_n)$. Entonces, ¿cómo podemos calcular explícitamente $k$ $K$- combinación lineal de $\zeta_i$? Bueno, como $i$ va de 0 a $n-1$, $\sigma^i(\alpha)$ se ejecuta a través de las raíces de $p$ (que es donde la irreductibilidad de la asunción viene). Así que usted puede fácilmente ver que en $\alpha^n$, el coeficiente de cualquier $\zeta_n^i$ es un simétrica polinomio en las raíces de $p$ que es invariante bajo permutaciones cíclicas y por lo tanto puede ser expresada de forma explícita en términos de primaria simétrica polinomios en las raíces.

Edición (gracias, chandok): Para expresar estos coeficientes explícitamente como elementos de $K(\zeta_n)$, usted necesita esencialmente repetir el truco de resolvent cúbicas que será familiar para usted a partir de la resolución de cuárticas por los radicales.

Para mostrarle cómo funciona esto, permítanme tomar el ejemplo de la cúbico extensiones. Vamos a las raíces de $p$ se denota por $\beta_1$, $\beta_2$, $\beta_3$, y denotan una primitiva raíz cúbica de la unidad por $\omega$. A continuación, $k=\alpha^3$ es $$ \left(\sum_i\omega^{i-1}\beta_i\right)^3 = (\sum_i\beta_i^3 + \beta_1\beta_2\beta_3)1 + 3(\beta_1^2\beta_2 + \beta_2^2\beta_3 + \beta_3^2\beta_1)\omega + 3(\beta_2^2\beta_1 + \beta_3^2\beta_2 + \beta_1^2\beta_3)\omega^2. $$ El coeficiente de 1 es completamente simétrica en las raíces, por lo que se puede expresar en términos de primaria simétrica polinomios, es decir, en términos de los coeficientes de $p$. Los coeficientes $\gamma_1$ $\gamma_2$ $\omega$ e de $\omega^2$, respectivamente, no son simétricas, sino que se intercambian por cualquier 2-ciclo. Pero eso significa que cualquier expresión que es simétrica en el $\gamma_i$ también será simétrica en el $\beta_i$. Así que usted considere el polinomio $$ f(x)=(x-\gamma_1)(x-\gamma_2).$$ Sus coeficientes son simétricas en el $\beta_i$, por lo que se puede expresar en términos de los coeficientes de $p$. Además, dado que el grupo de Galois de $p$ es cíclica, $f$ se divide completamente en $K(\zeta_3)$. Así que el factor de él y encontrar los coeficientes de $\omega$ e de $\omega^2$$k$.

Una táctica similar funciona para cualquier $n$. Dada una expresión en las raíces de $p$ que es simétrico bajo permutaciones cíclicas, pero no es simétrica, se considere la posibilidad de su órbita en virtud de la totalidad de la acción de $S_n$ e inventan un polinomio cuyas raíces se compondrá de esa órbita. Se puede calcular que el polinomio de $p$, y dado que el grupo de Galois de $p$ es cíclica, es decir, que el polinomio completamente factor y así darle los coeficientes de la $k$.