¿Cómo se puede demostrar la afirmación $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1$$ sin utilizar la serie de Taylor de $\sin$ , $\cos$ y $\tan$ ? Lo mejor sería una solución geométrica.
Esto es deberes . En mi clase de matemáticas, vamos a demostrar que $\sin$ es continua. Descubrimos que la demostración de la afirmación anterior es suficiente para demostrar la continuidad de $\sin$ pero no puedo averiguar cómo. Se agradece cualquier ayuda.
El área de $\triangle ABC$ es $\frac{1}{2}\sin(x)$ . El área de la cuña de color es $\frac{1}{2}x$ y el área de $\triangle ABD$ es $\frac{1}{2}\tan(x)$ . Por inclusión, obtenemos $$ \frac{1}{2}\tan(x)\ge\frac{1}{2}x\ge\frac{1}{2}\sin(x)\tag{1} $$ Dividiendo $(1)$ por $\frac{1}{2}\sin(x)$ y tomando los recíprocos, obtenemos $$ \cos(x)\le\frac{\sin(x)}{x}\le1\tag{2} $$ Desde $\frac{\sin(x)}{x}$ y $\cos(x)$ son funciones pares, $(2)$ es válida para cualquier $x$ entre $-\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ . Además, como $\cos(x)$ es continua cerca de $0$ y $\cos(0) = 1$ , obtenemos que $$ \lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1\tag{3} $$ Además, al dividir $(2)$ por $\cos(x)$ , obtenemos que $$ 1\le\frac{\tan(x)}{x}\le\sec(x)\tag{4} $$ Desde $\sec(x)$ es continua cerca de $0$ y $\sec(0) = 1$ , obtenemos que $$ \lim_{x\to0}\frac{\tan(x)}{x}=1\tag{5} $$
¡Haz mis deberes! Tenga en cuenta que $(1)$ dice que para $0\le x\le\frac{\pi}{2}$ tenemos $0\le\sin(x)\le x$ por lo tanto, $\lim\limits_{x\to0^+}\sin(x)=0$ . Entonces $\cos(x)=1-2\sin^2(x/2)$ debería terminar el trabajo.
Muchas gracias. Conozco ese proverbio, pero la verdad es que no fui capaz de averiguarlo por mi cuenta.
Primero debe demostrar que para $x > 0$ pequeño que $\sin x < x < \tan x$ . Entonces, dividiendo por $x$ se obtiene $$ { \sin x \over x} < 1 $$ y reordenando $1 < {\tan x \over x} = {\sin x \over x \cos x }$ $$ \cos x < {\sin x \over x}. $$ Tomando $x \rightarrow 0^+$ aplicas el teorema de la compresión. Para $x < 0$ y pequeño uso que $\sin(-x) = -\sin x$ para que $${\sin(-x) \over -x} = {\sin x \over x}.$$ En cuanto al porqué de la primera desigualdad que he dicho, se puede hacer completamente a partir de triángulos, pero no sé cómo dibujar los cuadros aquí.
Está en la foto. La definición de los radianes hace que la imagen anterior sea verdadera. Tal vez valga la pena mencionarlo: este límite depende explícitamente de " $x$ " que se mide en radianes.
De acuerdo. He echado un vistazo al enlace que ha proporcionado Yuval. Esa prueba funciona. De todos modos, gracias por el esfuerzo.
Por lo general, los libros de texto de cálculo lo hacen utilizando argumentos geométricos seguidos de un apretón.
Esta es una forma de verlo al estilo de Euler, que no es una "prueba" tal y como se entiende hoy en día, pero que merece la pena conocer.
Dejemos que $\theta$ sea la longitud de un arco a lo largo del círculo de radio unitario centrado en $(0,0)$ desde el punto $(1,0)$ en sentido contrario a las agujas del reloj hasta algún punto $(\cos\theta,\sin\theta)$ en el círculo. Entonces, por supuesto $\sin\theta$ es la altura de este último punto sobre el $x$ -eje. Ahora imagina lo que ocurre si $\theta$ es un número positivo infinitamente pequeño. Entonces el arco es sólo una línea vertical infinitamente corta, y la altura del punto final sobre el $x$ -El eje es sólo la longitud del arco. Es decir, cuando $\theta$ es un número infinitamente pequeño, entonces $\sin\theta$ es lo mismo que $\theta$ . De ello se desprende que cuando $\theta$ es un número infinitamente pequeño no nulo, entonces $\dfrac{\sin\theta}{\theta}=1$ .
Así es como Euler veía el asunto. Véase su libro sobre el cálculo diferencial.
No estoy de acuerdo con la reciente edición de mi respuesta y he vuelto a la versión anterior. "Infinitesmal" significa "infinitamente pequeño". $\qquad$
¿Has leído el libro de Euler? ¿Fue muy difícil de leer por la notación y el lenguaje de la época?
@user230452 : Sólo algunas partes. Yo no diría que las diferencias en el lenguaje y la notación son la parte desafiante. $\qquad$
No estoy seguro de si cuenta como prueba, pero he visto esto hecho por un estudiante de secundaria. 
En la imagen de arriba, $\displaystyle 2n \text{ EJ} = 2nR \sin\left( \frac{\pi}{n } \right ) = \text{ perimeter of polygon }$ .
$\displaystyle \lim_{n\to \infty }2nR \sin\left( \frac{\pi}{n } \right ) = \lim_{n\to \infty } (\text{ perimeter of polygon }) = 2 \pi R \implies \lim_{n\to \infty}\frac{\sin\left( \frac{\pi}{n } \right )}{\left( \frac{\pi}{n } \right )} = 1$ y que $\frac{\pi}{n} = x$ .
Este método se suele utilizar para demostrar que el perímetro de una circunferencia es $2\pi R$ utilizando el hecho $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
Aquí se puede ver un enfoque elemental que parte de un resultado muy interesante, ver este problema . Todo lo que necesitas es un poco de imaginación. Cuando tomamos $\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{n\sin(\frac{\pi}{n})}{1+\sin(\frac{\pi}{n})}$ podemos notar que tenemos infinitos círculos rodeando al círculo unitario con diámetros infinitamente pequeños que por último se aproximan perfectamente a la longitud del círculo unitario al tenerlo allí infinitas veces . Por lo tanto al multiplicar n por el radio bajo el límite al infinito obtenemos . Denotemos $\frac{\pi}{n}$ por x.
$$\lim_{x\rightarrow0}\frac{\pi\sin(x)}{x(1+\sin(x))}={\pi}\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x(1+\sin(x))}=1\Rightarrow\lim_{x\rightarrow0}\frac{\sin(x)}{x}=1$$
La prueba es completa.
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La regla de l'Hôpital es la más fácil: $\lim\limits_{x\to0}\sin x = 0$ y $\lim\limits_{x\to0}x = 0$ Así que $\lim\limits_{x\to 0}\frac{\sin x}x = \lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos x}1 = 1 $
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@Joren: Tengo mucha curiosidad por saber cómo vas a demostrar entonces que $\sin ' x = \cos x$
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@Gortaur: Bueno, no es tan difícil. Sólo tienes que encontrar una interpretación geométrica del seno y el coseno.
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@FUZx44xl: claro, pero para que te den la razón primero demuestras que $\sin x\sim x$ con $x\to 0$ . Geométricamente
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¿Cambios recientes en qué? La definición de $\lim$ de $\sin$ o de $0$ ?
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@FUZxxl:¿Exactamente cuál era su definición de "medios geométricos"?
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En un triángulo $ABC$ con ángulo recto en $ACB$ definimos $\sin BAC=BC/AC$ . Esta es la definición "geométrica" para $\sin$ que usamos.
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"En mi clase de matemáticas, vamos a demostrar que el pecado es continuo". Las principales formas de definir $\sin$ implican su continuidad de forma automática. Mi favorito es definir que $\sin$ es la única función dos veces diferenciable $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ satisfaciendo $\sin''(x) = -\sin x, \sin(0) = 0$ . Utilice Picard-Lindelof para garantizar la existencia y la singularidad.
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@goblin El objetivo es pasar de una comprensión intuitiva de $\sin$ como una relación geométrica con una función. Utilizar una definición tan implícita sería bastante insatisfactorio para un estudiante.
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No sé todo esto. Pero tampoco estoy tratando de sonar como un sabelotodo. Simplemente lo he metido en mi calculadora gráfica y he mirado x=0. ¿Podría ser esta una forma de hacerlo?
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@Asker123 No, porque ${\sin 0 \over 0} = {0\over 0}$ y no se puede dividir por $0.$ Una calculadora gráfica tiene una precisión finita, lo que nos dice que la $0$ que muestra no es realmente un $0.000000000000000000012445823?$
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¿Cómo aborda su definición geométrica los ángulos inferiores a 0 o superiores a 180 grados?
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@R R Los aborda en el sentido intuitivo: imagina que reduces un ángulo hasta que se convierte en cero y luego continúas moviendo la línea que moviste, así es la construcción para los ángulos negativos. Para esta aplicación particular, basta con demostrar que $\lim_{x\to0^+}{\sin x\over x}=0$ aunque (si no recuerdo mal, ha pasado algún tiempo).
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@asker - Que el gráfico de $\dfrac{\sin x}{x}$ parece que su intersección Y es $1$ es una evidencia convincente, pero no es una prueba.
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Se puede aplicar el teorema del sándwich para demostrarlo.
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Es un hermoso límite que puede aplicarse sucesivamente a una composición: $$\lim_{f(x)\to 0}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}$$