Para $n\geq 2$, cualquier mapa continuo $f:\mathbb{C}P^n\rightarrow S^2$ induce el cero mapa en $H_2(*)$

Question

Estoy trabajando a través de un antiguo examen de calificación de otra universidad. Mi curso no cubre tanto material como lo es en esta prueba (por ejemplo, no se trató de cohomology). Así que estoy trabajando a través de los problemas que se ven como un juego justo para el material cubierto en mi curso. He probado el siguiente problema (porque parece que debo ahora cómo hacerlo), y estoy muy pegado en ella:

Para $n\geq 2$, cualquier mapa continuo $f:\mathbb{C}P^n\rightarrow S^2$ induce el cero mapa en $H_2(*)$.

Sé que $H_2(\mathbb{C}P^n)=\mathbb{Z}$$H_2(S^2)=\mathbb{Z}$. Por lo que no es evidente sin embargo, que el $f_*$ es el cero mapa. He intentado buscar en la larga secuencia exacta para el par $(\mathbb{C}P^n, S^2)$ y se calcula la relación de homología de grupos; todos de la aparentemente relevantes son triviales (es decir,$i=1,2,3$). Por lo que la larga secuencia exacta parece que no me des más información. No estoy seguro de lo que me estoy perdiendo aquí.

Answer 1

El cohomology anillo de $\Bbb{CP}^n$$\Bbb Z[x]/(x^{n+1})$,$|x|=2$. Cualquier mapa de $f: \Bbb{CP}^n \to S^2$ induce a cero en cohomology al $n>1$, porque si $z \in H^2(S^2)$ es un generador, a continuación,$0 = f^*(z^2) = f^*(z)^2$, lo $f^*(z)$ debe ser cero.

Ahora uso el hecho de que el universal coeficiente teorema es natural ver que la inducida por el mapa en $H_2$ también es cero. (Realmente no desea dibujar el diagrama).

EDIT: he Aquí lo anterior, dicho de otra forma. Deje $f: S^2 \to S^2$ ser un mapa de cero grado. Yo reclamo no se puede extender $f$$\Bbb{CP}^2$. Para $\Bbb{CP}^2$ se obtiene a partir de a $S^2$ adjuntando una de 4 celdas a lo largo del mapa de Hopf $\eta: S^3 \to S^2$, esto sólo es posible extender el mapa sobre el 4-celda si $f\eta$ es nulo homotópica; pero $f\eta = n[\eta] \in \pi_3(S^2) \cong \Bbb Z$, donde el mapa de Hopf es un generador de este homotopy grupo.

La razón de que estos son la misma respuesta es porque la forma en que a menudo se demuestra que $n\eta$ no es null-homotópica es mediante el cálculo de la cohomology estructura de anillo en $X_n = S^2 \cup_{n\eta} D^4$ y al ver que no trivial.