Más que continuo muchas funciones

Question

Supongamos que tenemos una función $f_\alpha:\mathbb{N} \to o$ para cada $\alpha<c^+$ (cardenal sucesor de $c=2^{\aleph_{0}}$ ), donde $o$ es algún ordinal. Demuestre que existe un conjunto $S \subseteq c^+$ tal que $|S|=c^+ $ y para cada $\alpha,\beta \in S$ donde $\alpha<\beta$ tenemos que $f_\alpha(n)\leq f_\beta(n)$ para todos $n \in \mathbb{N}$ .

Estaba pensando que tal vez para colorear pares $\alpha,\beta \in o$ en colores según el índice más pequeño $n$ para lo cual $f_\alpha(n)\leq f_\beta(n)$ no se cumple (es decir, número contable de colores), y tal vez utilizar algún teorema de coloración? El problema es que no veo un teorema de coloración apropiado para el resultado que quiero, y además no veo una contradicción en que haya un conjunto homogéneo no de color $-1$ (es decir, no hay tal índice).

Mi segundo enfoque sería asumir la negación y construir de alguna manera una secuencia decreciente infinita en $o$ , $f_{\alpha_1}(n)>f_{\alpha_2}(n)>f_{\alpha_3}(n)...$ lo que contradiría el buen orden, pero tampoco veo cómo hacerlo.

Answer 1

Necesito la siguiente generalización de (un caso especial de) el teorema de Dushnik-Miller: Si el conjunto $[c^+]^2$ de $2$ -subconjuntos de elementos de $c^+$ se divide en un número contable de piezas $P_n$ ( $n\in\omega$ ), entonces o bien existe un conjunto $H\subseteq c^+$ de tipo de orden $c^+$ con $[H]^2$ (el conjunto de $2$ -subconjuntos de elementos de $H$ ) incluido en $P_0$ o hay un infinito $H\subseteq c^+$ con $[H]^2$ incluido en $P_n$ para algunos $n>0$ . Buscando una referencia para esto, lo primero que encontré fue el teorema 3.10 del capítulo 2 ("Partition Relations" de András Hajnal y Jean Larson) del Handbook of Set Theory. Se trata de un teorema de Erdős y Rado, que (especializando a $\kappa=\aleph_1$ y $\gamma=\omega$ ) da más de lo que necesito; espero que haya pruebas más fáciles de lo que realmente necesito.

Dado ese resultado, y dadas las funciones $f_\alpha$ como en la pregunta, definir $P_0$ que consistirá en aquellos $2$ -conjuntos de elementos $\{\alpha<\beta\}$ para lo cual $(\forall n)\,f_\alpha(n)\leq f_\beta(n)$ y definir $P_{k+1}$ que consistirá en aquellos $\{\alpha<\beta\}$ para lo cual $k$ es el menor número entero con $f_\alpha(k)>f_\beta(k)$ . Estos $P_n$ constituyen una partición de $[c^+]^2$ y un conjunto homogéneo de tipo de orden $c^+$ para la pieza $P_0$ es exactamente lo que pide la pregunta. Así que todo lo que tengo que hacer es excluir la posibilidad de conjuntos homogéneos infinitos para cualquiera de las otras piezas $P_{k+1}$ . Pero tal conjunto homogéneo comenzaría con un $\omega$ -secuencia de ordinales $\alpha(0)<\alpha(1)<\dots$ tal que, para cada $i$ , $f_{\alpha(i)}(k)>f_{\alpha(i+1)}(k)$ . Es decir, tendríamos una secuencia decreciente infinita de ordinales, una contradicción.

Answer 2

He aquí una prueba que no utiliza un gran martillo combinatorio, aunque he sacado la idea de una prueba del teorema de Erdős-Rado. Sea $S=\{\alpha<\mathfrak{c}^+:\operatorname{cf}\alpha=\omega_1\}$ . Para cada $\alpha\in S$ y $n\in\omega$ construir una secuencia finita $\langle\beta(\alpha,n,k):k<\ell(\alpha,n)\rangle$ de la siguiente manera. Si $\{\gamma<\alpha:f_\gamma(n)>f_\alpha(n)\}\ne\varnothing$ , dejemos que $$\beta(\alpha,n,0)=\min\{\gamma<\alpha:f_\gamma(n)>f_\alpha(n)\}\;;\tag{1}$$ De lo contrario, deja que $\ell(\alpha,n)=0$ . Dado $\beta(\alpha,n,k)$ , dejemos que

$$\beta(\alpha,n,k+1)=\min\{\gamma<\alpha:f_{\beta(\alpha,n,k)}(n)>f_\gamma(n)>f_\alpha(n)\}\tag{2}$$

si existe tal ordinal, y en caso contrario que $\ell(\alpha,n)=k+1$ . Desde $\beta(\alpha,n,k)>\beta(\alpha,n,k+1)$ siempre que ambos ordinales estén definidos, $\ell(\alpha,n)\in\omega$ para cada $\alpha\in S$ y $n\in\omega$ . Para cada $\alpha\in S$ dejar $A_\alpha=\bigcup_{n\in\omega}\{\beta(\alpha,n,k):k<\ell(\alpha,n)\}$ y si $A_\alpha\ne\varnothing$ , dejemos que $\eta_\alpha=\sup A_\alpha$ ; $A_\alpha$ es contable, por lo que $\eta_\alpha<\alpha$ . El mapa $\alpha\mapsto\eta_\alpha$ es una función de prensado en $S_0=\{\alpha\in S:A_\alpha\ne\varnothing\}$ .

Si $S_0$ es estacionario, entonces hay un $S_1\subseteq S_0$ y un $\eta<\mathfrak{c}^+$ tal que $\eta_\alpha=\eta$ para todos $\alpha\in S_1$ . Sólo hay $\mathfrak{c}$ distintas posibilidades de

$$\left\{\{\beta(\alpha,n,k):k<\ell(n)\}:n\in\omega\right\}\;,$$

por lo que hay $S_2\subseteq S_1$ tal que $|S_2|=\mathfrak{c}$ y

$$\left\{\{\beta(\alpha_0,n,k):k<\ell(n)\}:n\in\omega\right\}=\left\{\{\beta(\alpha_1,n,k):k<\ell(n)\}:n\in\omega\right\}$$

para todos $\alpha_0,\alpha_1\in S_2$ . Supongamos que hay $\alpha_0,\alpha_1\in S_2$ y $n\in\omega$ tal que $\alpha_0<\alpha_1$ y $f_{\alpha_0}(n)>f_{\alpha_1}(n)$ . Entonces, para todos los $k<\ell(\alpha_1,n)$ tenemos $f_{\beta(\alpha_1,n,k)}(n)>f_{\alpha_0}(n)>f_{\alpha_1}(n)$ y $\beta\big(\alpha_1,n,\ell(\alpha_1,n)\big)$ debería haberse definido: había al menos un ordinal disponible, $\alpha_0$ que cumplan los requisitos de cualquiera de $(1)$ y $(2)$ era apropiado. Esta contradicción demuestra que si $\alpha_0,\alpha_1\in S_2$ con $\alpha_0<\alpha_1$ entonces $f_{\alpha_0}(n)\le f_{\alpha_1}(n)$ para todos $n\in\omega$ que es el resultado deseado.

Supongamos ahora que $S_0$ no es estacionario, y dejemos que $S_1=S\setminus S_0$ ; $S_1$ es estacionario, por lo que $|S_1|=\mathfrak{c}^+$ . Supongamos que $\alpha_0,\alpha_1\in S_1$ con $\alpha_0<\alpha_1$ . $A_{\alpha_1}=\varnothing$ por lo que para cada $n\in\omega$ debemos tener $f_{\alpha_0}(n)\le f_{\alpha_1}(n)$ , que es de nuevo el resultado deseado.

Answer 3

He aquí una respuesta parcial por inducción transfinita. No estoy muy acostumbrado a los ordinales así que espero que sea correcta.

Procedemos por inducción transfinita en $o$ . Reforzamos el problema considerando funciones parciales: $f_\alpha\leq f_\beta$ si para todo $n$ donde ambos están definidos, tenemos $f_\alpha(n)\leq f_\beta(n)$ El caso base con $o=\{1\}$ está claro.

Si $o=o'+1$ es un ordinal sucesorio, aislaremos la máxima salida posible $M$ (es decir $o'$ ). Consideramos las funciones parciales $f'_\alpha$ donde $M$ se sustituye por $\bot$ (indefinido). Por hipótesis, existe $S'\subseteq c^+$ verificar todos los requisitos en el $f'_\alpha$ 's.

Ahora, para cada $g:\mathbb N\to \{o',\{M\},\{\bot\}\}$ definimos el conjunto $S_g=\{\alpha \in S' : \forall n\in\mathbb N,f_\alpha(n)\in g(n)\}$ . Desde el $S_g$ forman un $c$ -partición de $S'$ y $|S'|=c^+$ existe $g$ tal que $|S_g|=c^+$ . Este $S_g$ verifica todas las condiciones requeridas para la $S$ estamos buscando.

Ahora tenemos que tratar el caso límite. Para cada $o'<o$ Consideramos que $f_\alpha^{o'}$ para ser $f_\alpha$ donde el valor es indefinido fuera de $o'$ . Sea $S_{o'}$ sea la solución del problema en el $f_\alpha^{o'}$ (por hipótesis de inducción). Obsérvese que si $\alpha\leq \beta$ entonces $S_\alpha\supseteq S_\beta$ Dejemos que $S=\bigcap_{o'<o} S_{o'}$ Sólo tenemos que demostrar que $|S|=c^+$ .