Si el punto es cero-dimensional, ¿cómo puede formar un finito dimensional línea?

Question

He extraído el siguiente pasaje de la wikipedia en la página web de Punto (geometría):

En particular, los puntos geométricos no tener cualquier longitud, área, volumen, o cualquier otro dimensional atributo.

Creo que el pasaje anterior implica\s de que el punto es cero dimensional. Si es cero dimensional, ¿cómo puede una forma unidimensional de la línea?

La física de los textos, a veces hablan de líneas", que se compone de puntos, planos' que se compone de líneas y así sucesivamente. Claramente un segmento de línea, la idea de la conexión de un intervalo de los números reales, no puede ser construido como una contables de la unión de los puntos. Lo axioma sistemas de definir la construcción de una línea de puntos, o que, ¿cómo podemos definir rigurosamente la construcción de una línea de puntos?

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Enlaces: 1. Dheeraj Kumar ha dado un enlace a un libro Cósmico Esfera en la que se habla acerca de la misma complejidad. No creo que (como ahora) el libro que realmente resuelve el problema. Pero dio algunos puntos muy buenos como la línea no puede incluso tener espesor, como los puntos son cero dimensional, etc.

2. "Infinitesimal: ¿Cómo un Peligroso Teoría Matemática dado Forma al Mundo Moderno" por Amir Alexander es el maravilloso libro sobre el asunto de la pregunta.

3. La sección uno (significado Físico de proposiciones geométricas) de la primera parte del libro "la Relatividad: La Especial y la Teoría General" da a los Einstein de vista sobre este asunto.

4. Primeros capítulos del libro "Euclidiana y No Euclidiana Geometría-Desarrollo y de la Historia" de Marvin J Greenberg podría ser de gusto para algunos.

Answer 1

Es una buena pregunta. Este es un enfoque que es ampliamente consistente con la moderna teoría de la medida:

Empezar con un segmento de recta de longitud $1$. Si hemos de reducir a la mitad de su longitud $n$ a veces, el resultado del segmento de línea tiene una longitud de $1/2^n$ y que es siempre mayor que la longitud de un punto en la línea. Escribir $L(point)$ de esa cantidad, $L$ para la Longitud.

Entonces lo $L(point)$ es (y suponiendo que se define), tenemos

$$0 \leq L(point) < \frac{1}{2^n}$$

Como $n$ es arbitrario, podemos hacer $1/2^n$ tan pequeño como nos gusta. La única solución viable conclusión es que el $L(point) = 0$.

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La construcción de la otra manera desde el punto a un segmento de línea es problemático. ¿Cómo podemos multiplicar cero por cualquier cosa y obtener algo mayor que cero? No podemos, sin tirar los números reales tal y como la entendemos. Que es un precio demasiado alto. Esta es la razón por la que el argumento se inicia con la no-cero cantidades y se va a bajar de cero.

Answer 2

El truco es que no hay más que una línea que sólo se compone de puntos, la línea también se sabe que viven en algún tipo de espacio topológico o algunos de los más ricos de la estructura. por ejemplo, los axiomas de la geometría Euclidiana hablar no sólo de los puntos de la mentira en las líneas, pero que un punto en una línea pueden ser entre otros, que los segmentos de línea podría ser congruentes, y otras cosas.

Esta otra cosas es importante para la "lineness" de una línea.

En el contexto de un espacio topológico, se puede dar una descripción completa de cualquier forma en la que el espacio mediante la especificación de que los puntos están en la forma. Por lo tanto, el hábito de describir las formas en términos de conjuntos de puntos.

Answer 3

Depende de tu definición de "línea" y "punto" como Hurkyl mencionado. En pura geometría Euclidiana con sólo los axiomas geométricos no se puede hablar de dimensión. Si se agrega el Cantor-axioma de Dedekind, entonces la geometría Euclidiana puede ser incrustado en $\mathbb{R}^3$, y entonces se puede hablar de la dimensión, que es simplemente el tamaño de la base de la $\mathbb{R}^3$ como un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$. Entonces no hay problema con la línea 1-dimensional, mientras que un punto es 0-dimensional. Simplemente sigue a partir de la definición, y también corresponde a la intuición. Hay 0 grados de libertad en un punto, en el que dice que no se puede mover en cualquier dirección desde cualquier punto en el que mientras permanecen en ella. Hay 1 grado de libertad en una línea, que puede ser representada por la distancia a la que se a partir de un determinado punto en que cuando se mide a lo largo de 1 vector. Hay 2 grados de libertad en un plano, el cual puede ser representado con un punto fijo en ella y fijo de dos vectores por 2 coordenadas de decirte lo mucho que tienes que ir a lo largo de un vector y cuánto a lo largo de los otros para conseguir de ese punto fijo a un punto en el plano.

Tenga en cuenta que en el universo tanto de un punto y una recta están en el mismo "espacio", y si este espacio es un habitual espacio Euclidiano, sus dimensiones no tienen nada que ver con la dimensión de todo el espacio en que se encuentran. Este puede ser el problema real detrás de su pregunta. Tenga en cuenta también que en $\mathbb{R}^n$ cualquier punto por sí mismo es un espacio vectorial de dimensión 0 $\mathbb{R}$, independientemente de $n$. Mismo para una línea, que es de dimensión 1 $\mathbb{R}$. En general, los espacios vectoriales isomorfos tienen la misma dimensión, independientemente de lo que están incrustados.

Ahora sabemos que el universo no es Euclidiana, pero si estamos continuamente se puede parametrizar un objeto en el universo de la $n$ números reales podemos definir la dimensión del objeto sobre$\mathbb{R}$$n$. A continuación, la dimensión de cualquier objeto en el universo no tiene nada que ver con nada, excepto donde sus puntos están en el universo. En particular, no tiene nada que ver con la dimensión de cualquier otro objeto que la contiene, incluyendo el propio universo. Así que un punto es 0-dimensional por definición. Cualquier camino es 1-dimensional, directamente o no, sería 1-dimensional, ya que es parametrizadas por un único parámetro real. Cualquier superficie como la de un suave objeto sería de 2 dimensiones. Tenga en cuenta que algunos objetos no tienen una dimensión en virtud de esta definición, tal como fractales. Existen varias definiciones diferentes para las fracciones de dimensiones para lidiar con eso, pero no voy a entrar en ello.

Answer 4

Supongo que te refieres a un segmento de línea, no una línea.

Un segmento de línea que no es un "conjunto de puntos". Euclides define un segmento de línea como una longitud sin anchura. En otras palabras, un segmento de línea se define como su longitud, no como un conjunto de puntos.

Answer 5

Se podría definir un segmento de recta de longitud $r$ como la suma de un número infinito de dimensiones de los puntos, así: $S=0+0+0+...=(r-r)+(r-r)+(r-r)+...=r+(-r+r)+(-r+r)+...=r\in \mathbb{R}$. Muchos dirán que no se puede reorganizar los términos divergentes serie infinita. Así que esto es realmente un (justificado) de la asignación del valor de $r$ a la suma de $S$. Es una situación similar a la de la divergencia de la serie de $1+2+3+...$ a la que los físicos asignar el valor de $-1/12$.