La Diferenciación De La Integral Definida

Question

Creo $\frac{d}{dx} \int f(x) dx = f(x)$ derecho? Por lo $\frac{d}{dx} \int^b_a f(x) dx = [f(x)]^b_a = f(a)-f(b)$? Pero, ¿por qué cuando:

$$f(x) = \int^{x^3}_{x^2} \sqrt{7+2e^{3t-3}}$$

entonces

$$f'(x) = \color{red}{(x^3)'}\sqrt{7+2e^{3x-3}} - \color{red}{(x^2)'}\sqrt{7+2e^{3x-3}}$$

Cuando hice el $(x^3)'$$(x^2)'$?

Answer 1

$\int_a^bf(x)\,dx$ es un número, por lo ${d\over dx}\int_a^bf(x)\,dx=0$.

Ahora supongamos $\int g(x)\,dx=F(x)$. A continuación,$\int_{x^2}^{x^3}g(t)\,dt=F(x^3)-F(x^2)$, lo ${d\over dx}\int_{x^2}^{x^3}g(t)\,dt=(x^3)'F'(x^3)-(x^2)'F'(x^2)=3x^2g(x^3)-2xg(x^2)$.

Answer 2

Para una integral definida con una variable límite superior de integración $\int_a^xf(t)\,dt$, usted tiene ${d\over dx} \int_a^xf(t)\,dt=f(x)$.

Para una integral de la forma $$\tag{1}\int_a^{g(x)} f(t)\,dt,$$ puedes encontrar la derivada usando la regla de la cadena.

Como se indicó anteriormente, la base de la diferenciación de la regla para las integrales es:

$\ \ \ \ \ \ $ $F(x)=\int_a^x f (t)\,dt$ ,$F'(x)=f(x)$.

La regla de la cadena nos dice cómo diferenciar $(1)$. Aquí si establecemos $F(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, entonces la derivada buscada es $${d\over dx} \int_a^{g(x)} f(t)\,dt =[F(g(x))]' =F' (g(x)) g'(x) =f(g(x))\cdot g'(x).$$

Así, por ejemplo, dado $$ {d\más de dx} \int_0^{x^3} \sqrt{7+2e^{3t-3}}\, dt, $$ tenemos $F(x)=\int_0^x \sqrt {7+2e^{3t-3}}\,dt$, y queremos hallar la derivada de $F(x^3)$. Usando la regla de la cadena $$ {d\más de dx} \int_0^{x^3}\underbrace{ \sqrt{7+2e^{3t-3}}}_{f(t)}\, dt = [F(x^3)]'=f(x^3)\cdot(x^3)'=\sqrt{7+3{e^{3x^3-3} }}\cdot 3x^2. $$ Nota tiene un error en los exponentes en su solución.

Si el superior y el inferior límites de integración son variables, tendría que hacer lo que te sugieren. Por ejemplo, usted escribiría $$\eqalign{ \int_{x^2}^{x^3}f(t)\,dt&= \int_{x^2}^0f(t)\,dt+ \int_0^{x^3}f(t)\,dt\cr y= -\int_{0}^{x^2}f(t)\,dt+ \int_0^{x^3}f(t)\,dt} $$ La derivada será entonces, aplicando la regla de la cadena para ambas integrales por encima de $-f(x^2)\cdot2x+f(x^3)\cdot (3x^2)$.

Answer 3

Ah, he encontrado la respuesta en YouTube. @GerryMyerson la respuesta también funciona, pero sentí que el video lo explica más claramente