¿Cuál es el resultado de $\infty - \infty$ ?

Question

Yo diría $\infty - \infty=0$ porque aunque $\infty$ es un número indeterminado, $\infty = \infty$ . Así que $\infty-\infty=0$ .

Answer 1

Desde una perspectiva sencilla, imagine que tengo un número infinito de habitaciones de hotel, cada una numerada 1, 2, 3, 4, ...

Entonces te las doy todas. No me quedaría ninguno, así que $\infty - \infty = 0$

Por otro lado, si te doy todos los numerados impar, entonces aún me queda un número infinito. Así que $\infty - \infty = \infty$ .

Ahora supongamos que te las doy todas excepto las siete primeras. Entonces $\infty - \infty = 7$ .
Aunque esto no explica por qué esto es indeterminado, espero que estés de acuerdo en que es ¡Indeterminado!

Answer 2

Quizás una forma poco interesante de hablar del infinito, pero que seguramente entenderás, la primera que me enseñaron y que está al nivel del Cálculo Introductorio. Si consideras la secuencia

$$1,4,9,16,25,36,\ldots ,n^{2},\ldots \tag{1}$$

y la secuencia

$$1,2,3,4,5,6,\ldots ,n,\ldots \tag{2}$$

ambos van al infinito como $n$ tiende a infinito (añadiré si lo considera necesario el significado de "tiende a infinito"). La secuencia obtenida restando $(2)$ de $(1)$ también llega hasta el infinito

$$0,2,6,12,20,30,\ldots ,n^{2}-n,\ldots \tag{3}$$

Si consideramos ahora la secuencia

$$\frac{1}{1},\frac{3}{2},\frac{8}{3},\frac{15}{4},\frac{24}{5},\frac{35}{6}% ,\ldots ,\frac{n^{2}-1}{n},\ldots \tag{4}$$

que también llega hasta el infinito y restarlo de $(2)$ se obtiene una secuencia que tiende a $0$

$$0,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots ,\frac{% 1}{n},\ldots \tag{5}$$

Si toma la secuencia $(2)$ y restarle la secuencia

$$0,1,2,3,4,5,\ldots ,n-1,\ldots \tag{6}$$

se obtiene la secuencia constante

$$1,1,1,1,1,1,\ldots \tag{7}$$

Así, la diferencia de dos secuencias que van ambas al infinito puede ser una secuencia que tiende a $\pm\infty$ , $0$ o un número finito.

Answer 3

Cuando intentamos inventar nuevos sistemas numéricos con números que nombramos, por ejemplo, "infinito", debemos definir las reglas de funcionamiento. Si decidimos unir el símbolo $\infty$ a, por ejemplo, los números reales, entonces debes decidir qué propiedades quieres que tenga el símbolo.

Por ejemplo, ¿desea (lo cual es razonable) $x+\infty=\infty$ para cada número real $x$ ? Si es así, su nuevo sistema, $\mathbb{R} \cup \{\infty\}$ ya no puede ser un anillo, por lo que se pierden algunas de las propiedades importantes del sistema.

Normalmente, el símbolo $\infty$ sólo se utiliza para indicar que los límites "crecen más allá de cualquier número", por ejemplo. En este caso, $\infty-\infty$ depende de los límites de que se trate.

En otras situaciones, $\infty$ se utiliza para "completar" formalmente un espacio topológico, digamos $\mathbb{C}$ . Todos los nuevos estudiantes de topología aprenden que la esfera y la $\mathbb{C} \cup \{\infty \}$ son espacios homeomórficos, es decir, esencialmente iguales.

Answer 4

Hay una forma sencilla de mostrar cómo podemos definir estos problemas. Basta con escribir la ecuación y tratar de encontrar $x$ .

$\infty - \infty =x$

$\infty =x+ \infty$

Si intenta poner algunos valores de $x$ , tales como 1,2,3,.... usted notará que todos los números serán correctos porque si usted agrega cualquier número al infinito, será otra vez infinito o si usted selecciona cualquier número negativo, el infinito no perderá nada del infinito, será otra vez infinito. Si es así, ¿qué es $x$ ? x puede ser cualquier número, por lo tanto decimos tal x como indeterminado.

Si intenta el mismo método con otra expresión indeterminada como $$\frac{0}{0}$$

$$\frac{0}{0}=x$$ qué es $x$ ?

$$\frac{0}{0}=\frac{x}{1}$$

$$x.0=0.1$$

$$x.0=0$$ $x$ puede ser cualquier número porque si multiplicamos cualquier número por cero el resultado será cero. Nuevamente resultado similar al que obtuvimos para $\infty - \infty$ .

Otra propiedad importante es que todas las expresiones indeterminadas pueden transformarse a otra forma. véanse los ejemplos a continuación.

Ejemplo 1: $$0.\infty=$$

$$=0.\frac{1}{0}=\frac{0}{0}$$

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Ejemplo 2: $$\frac{\infty}{\infty}=$$

$$=\frac{\frac{1}{0}} {\frac{1}{0}} =\frac{0}{0}$$

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Ejemplo 3: $$\infty - \infty=$$

$$=\frac{1}{0}-\frac{1}{0}= \frac{1-1}{0}=\frac{0}{0}$$

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Ejemplo 4: $$1^\infty=x$$

$$ln(x) = ln(1^\infty)= \infty.ln(1)=\infty.0=\frac{1}{0}.0= \frac{0}{0}$$

Si $ln(x)$ es indeterminado , por lo tanto $x$ también es indeterminado

Lo mismo puede decirse de $\infty ^ 0$ como se muestra en el ejemplo 4. Estos ejemplos muestran que las expresiones indeterminadas pueden convertirse a otro tipo. Es muy importante encontrar valores límite en matemáticas.

Answer 5

La expresión $\infty - \infty$ se denomina indeterminada porque $\infty - \infty$ podría ser cualquier cosa en el conjunto $[-\infty, \infty] = \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\}$ . Considere el límite

$$\lim_{x \to \infty} (f(x) - g(x)).$$ Si $f(x)$ y $g(x)$ son polinomios (o funciones arbitrarias que tienden a infinito), el límite es de la forma $\infty - \infty$ pero podemos inventar ejemplos en los que el límite puede ser cualquier número. Por ejemplo $\alpha$ sea un número real arbitrario y definamos $f(x) = x+ \alpha$ y $g(x) = x$ . Entonces el límite es $\alpha$ . Además, si $f(x) = x^2$ y $g(x) = x$ (o viceversa), entonces el límite pasa a ser $+ \infty$ (o $-\infty$ ). Por lo tanto, no hay ninguna forma razonable de definir $\infty - \infty$ .