En el análisis funcional hay muchos lugares en los que se menciona el espacio dual, pero todavía no entiendo el verdadero poder de ese concepto. ¿Por qué necesitamos el espacio dual?
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En general, si $X$ y $Y$ son conjuntos (resp. espacios vectoriales sobre un campo común $k$ ), podemos considerar el conjunto $Y^X$ de todos los mapeos (resp. el espacio vectorial $\mathrm{Hom}(X,Y)$ de todos los mapeos lineales) de $X$ a $Y$ . Obviamente, es interesante estudiarlos si se piensa en términos de estructuras y mapas que preservan la estructura; y los espacios duales son simplemente un caso especial (a saber $\mathrm{Hom}(X,k)$ ). También $\mathrm{Hom}$ se comporta muy bien con respecto a las secuencias exactas cortas, y está profundamente relacionado con el producto tensorial.
Ahora, aparentemente, te interesa el punto de vista del análisis funcional: aquí suponemos que el espacio dual es el topológico espacio dual (es decir, funcionales lineales continuos); el espacio dual es siempre completo (independientemente de que $X$ es completa o no) y los puntos pueden ser separados por elementos del espacio dual, lo que suele ser útil. Un espacio dual especialmente interesante es $\mathscr{D}'$ el espacio de las distribuciones (aquí $\mathscr{D}$ es $C^\infty_0$ dotado de su topología canónica LF); se puede demostrar que si $P(\partial)$ es cualquier operador diferencial parcial lineal de coeficiente constante, entonces existe una distribución $E$ (llamado solución fundamental para $P(\partial)$ ) tal que $P(\partial)E=\delta_0$ en el sentido de las distribuciones (este es el teorema de Malgrange-Ehrenpreis). Se trata de un resultado muy importante por el siguiente corolario: si $f\in C^\infty_0$ entonces la PDE $P(\partial)u=f$ admite un $C^\infty$ solución explícitamente dado por $u=E\ast f$ . En física (por ejemplo, en electrodinámica) esto se utiliza todo el tiempo para resolver las EDP. Además, a menudo se busca soluciones débiles para la PDE $P(\partial)u=f$ (es decir, esta ecuación se satisface en el sentido de la distribución) y luego trata de demostrar que son fuerte soluciones (habituales); este es un método muy conveniente.
Bryan
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El espacio dual es un concepto que aparece con mayor generalidad en el Álgebra Lineal. Si $V$ es un espacio vectorial entonces su espacio dual $V^*$ es el conjunto de todas las funciones lineales de $V$ a su campo base $F$ .
Cuando $V$ es un espacio vectorial de dimensión finita, entonces también lo es $V^*$ y $\text{dim } V^*=\text{dim }V$ . Por tanto, existe un isomorfismo lineal entre ellos cuando se toman sobre el mismo campo. ¿Por qué es esto importante? Tal isomorfismo nos da un ejemplo de un isomorfismo no natural en teoría de categorías . Desde $V^*$ también es un espacio vectorial, también tiene un dual denotado $V^{**}$ llamado el doble-dual de $V$ . A diferencia de lo que ocurre entre $V$ y $V^*$ existe un isomorfismo natural entre $V$ y $V^{**}$ .
