Estoy buscando punteros en cuanto a cómo evaluar el comportamiento asintótico de $\sum_{k=1}^{n}\left(1-p^{k}\right)^{n-k}$ grandes $n$ donde $0<p<1$ es fijo.
Cualquier ayuda es muy apreciada.
Respuesta
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Tenga en cuenta que $f(k,n) = (1-p^k)^{n-k}$ es una función creciente de $k$ fijos $n$. Para $k = \frac{\log n}{\log(1/p)} + t$ Arce dice que tenemos, como $n \to \infty$, $f(k,n) \approx e^{-p^t} + O(1/n)$. Esto va exponencialmente a $1$ $t \to +\infty$ y muy rápidamente a$0$$t \to -\infty$, por lo que sospecho que la suma es $n - \frac{\log n}{\log(1/p)} + O(1)$ $n \to \infty$ (es decir, el error cometido al aproximar $f(k,n)$ $0$ $k < \frac{\log n}{\log(1/p)}$ $1$ $k > \frac{\log n}{\log(1/p)}$ quedará limitada como $n \to \infty$).
