Integración de $\frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta \cos^2(2\alpha)}$ con respecto a $\theta$

Question

Tengo algunos problemas con la siguiente integral

$$\int_{\frac{-\pi}{2}}^\frac{\pi}{2}\frac{\sec^2\theta}{1+\tan^2\theta \cos^2(2\alpha)}d\theta$$

Mi intento es el siguiente, sustituir $u=\tan\theta$ (pero esto da límites infinitos)
Así que $d\theta=\frac{1}{\sec^2\theta}du$ sustituyendo $\theta$ y $d\theta$ da

$$\int_{\tan(\frac{-\pi}{2})}^{\tan(\frac{\pi}{2})}\frac{1}{1+u^2 \cos^2(2\alpha)}du$$

Esta vez sustituyendo $v=u\cos(2\alpha)$ , $du=\frac{1}{\cos(2\alpha)}dv$ lo que da

$$\int_{\tan(\frac{-\pi}{2})\cos(2\alpha)}^{\tan(\frac{\pi}{2})\cos(2\alpha)}\frac{1}{1+v^2}dv=\bigg{[} \arctan (v)\bigg{]}_{\tan(\frac{-\pi}{2})\cos(2\alpha)}^{\tan(\frac{\pi}{2})\cos(2\alpha)}$$

Creo que no he cometido ningún error en mis sustituciones, pero sigo preguntándome cómo superar los límites infinitos, ya que $\tan(\pi/2)=\infty$ y $\tan(-\pi/2)=-\infty$

Answer 1

La forma "correcta" de tratar con límites infinitos es escribir la integral como :

$$\lim_{\beta \to -\infty} \int_{\beta}^0 \frac{1}{1+u^2 \cos^2(2\alpha)} \, \mathrm{d}u + \lim_{\gamma \to \infty} \int_0^{\gamma} \frac{1}{1+u^2 \cos^2(2\alpha)} \, \mathrm{d}u$$

y luego trabajar con límites en todo momento. La mayoría de las veces, eludimos la larga notación de límites y escribimos el incorrecto integral de la manera que lo has hecho. Esto debería llevarle a $$\frac{\pi}{2\sqrt{\cos^2 2\alpha}} + \frac{\pi}{2\sqrt{\cos^2 2\alpha}} = \frac{\pi}{\sqrt{\cos^2 2\alpha}}$$

Answer 2

Estabas muy cerca de la respuesta correcta, pero omitiste el término $\frac{1}{\cos 2\alpha}$ en la última sustitución. Como ha sugerido @zainpatel, aquí hay que tener cuidado con los límites de integración.

De hecho, la última integral de la pregunta publicada, corregida por el término multiplicativo omitido $\frac{1}{\cos 2\alpha}$ y cuidando el signo de $\cos 2\alpha$ puede evaluarse del siguiente modo:

$$\begin{align} \frac{1}{\cos 2\alpha}\int_{-\text{sgn}(\cos 2\alpha)\infty}^{\text{sgn}(\cos 2\alpha)\infty}\frac{1}{1+v^2}dv&=\left.\left(\frac{1}{\cos 2\alpha}\arctan(v)\right)\right|_{-\text{sgn}(\cos 2\alpha)\infty}^{\text{sgn}(\cos 2\alpha)\infty}\\\\ &=\pi\frac{\text{sgn}(\cos 2\alpha)}{\cos 2\alpha}\\\\ &=\frac{\pi}{|\cos 2\alpha|} \end{align}$$

Answer 3

Aviso,

$\color{blue}{\int_{-a}^{a}f(x) dx=2\int_{0}^{a}f(x) dx\iff f(-x)=f(x)}$ Ahora tenemos $$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec^2\theta d\theta}{1+\tan^2\theta\cos^22\alpha}$$ $$=2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sec^2\theta d\theta}{1+\tan^2\theta\cos^22\alpha}$$ Ahora, dejemos que $\tan \theta=t \implies \sec^2\theta d\theta=dt$ , &

$t\to 0 \ as \ \theta\to 0$ , $t\to \infty \ as \ \displaystyle \theta\to \frac{\pi}{2}$ ( $\alpha$ siendo constante) $$=2\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{1+t^2\cos^22\alpha}$$ $$=\frac{2}{\cos^22\alpha}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{\sec^22\alpha+t^2}$$ $$=\frac{2}{\cos^22\alpha}\int_{0}^{\infty}\frac{dt}{(\sec 2\alpha)^2+t^2}$$ $$=\frac{2}{\cos^22\alpha}\frac{1}{\sec2\alpha}\left[\tan^{-1}\left(\frac{t}{\sec2\alpha}\right)\right]_{0}^{\infty}$$ $$=\frac{2}{\cos 2\alpha}\left[\tan^{-1}\left(\infty \right)-\tan^{-1}(0)\right]$$ $$=\frac{2}{\cos 2\alpha}\left[\frac{\pi}{2}\right]$$ $$=\color{blue}{\frac{\pi}{\cos 2\alpha}}$$