Sobrevivir bajo el agua en una burbuja de aire

Question

Una noticia increíble de hoy es la de un hombre que sobrevivió durante dos días en el fondo del mar (a unos 30 m de profundidad) en una embarcación volcada, en una burbuja de aire que se formó en una esquina del barco. Finalmente fue rescatado por buzos que acudieron a recuperar cadáveres. Detalles aquí . Dado que los gases se difunden a través del agua (y se disuelven en ella), la composición del aire en la burbuja debería estar cerca de la atmósfera exterior, si la superficie de la burbuja es lo suficientemente grande; así se elimina el exceso de dióxido de carbono y se aporta oxígeno para mantener la vida de un ser humano.

Pregunta: ¿Qué tamaño debe tener la burbuja para que una persona en ella pueda tener un suministro indefinido de aire respirable?

Answer 1

Resumen: Encuentro una fórmula para el diámetro de una burbuja lo suficientemente grande como para soportar a un humano y conecto valores conocidos para obtener $d=400m$ .

Intentaré dar una respuesta cuantitativa a la pregunta de qué tamaño debe tener una burbuja de aire para que la concentración de dióxido de carbono se encuentre en un estado estable respirable, mientras un humano produce continuamente dióxido de carbono dentro de la burbuja.

La ley de Fick de la difusión es que el flujo de una cantidad a través de una superficie (cantidad por unidad de tiempo por unidad de área) es proporcional al gradiente de concentración en esa superficie,

$$\vec{J} = - D \nabla \phi,$$

donde $\phi$ es la concentración y $D$ es la difusividad de la especie. Queremos encontrar el flujo neto que sale de la burbuja en la superficie, o $\vec{J} = -D_{\text{surface}} \nabla \phi$ .

$D_{\text{surface}}$ va a ser una divertida combinación de la difusividad de $CO_2$ en el aire y en el agua, pero como el coeficiente en el agua es mucho menor, realmente la difusión va a estar dominada por este coeficiente: no puede difundirse rápidamente fuera de la superficie y muy lentamente inmediatamente fuera de la superficie, porque la concentración se acumularía entonces en una fina capa inmediatamente fuera hasta que fuera lo suficientemente alta como para empezar a difundirse de nuevo. Así que voy a suponer $D_{\text{surface}} = D_{\text{water}}$ aquí.

Para estimar $\nabla \phi$ podemos suponer en primer lugar $\phi(\text{surface})=\phi(\text{inside})$ , fijando $\phi(\text{inside})$ a partir de la concentración máxima no letal de CO2 en el aire y la densidad molar del aire ( $=P/RT$ ); entonces, suponiendo que la burbuja es una esfera de radio $a$ porque en estado estacionario la concentración en el exterior es una función armónica, podemos encontrar

$$\phi(r) = \phi(\text{far}) + \frac{(\phi(\text{inside})-\phi(\text{far}))a}{r},$$

donde $\phi(\text{far})$ es la concentración lejos de la burbuja, que se supone constante. Entonces

$$\nabla \phi(a) = -\frac{(\phi(\text{inside})-\phi(\text{far}))a}{a^2} = -\frac{\phi(\text{inside})-\phi(\text{far})}{a}$$

que se puede encontrar en

$$J = D \frac{\phi(\text{inside})-\phi(\text{far})}{a}.$$

A continuación, integramos esto sobre la superficie de la burbuja para obtener la cantidad neta que sale de la burbuja, y establecemos esto $=$ la cantidad de dióxido de carbono que exhala el ser humano, $\dot{N}$ . Dado que para las simplificaciones anteriores $J$ es constante sobre la superficie (área $A$ ), esto es sólo $JA$ .

Así que tenemos $$\dot{N} = D_{\text{water}} A \frac{\phi(\text{inside})-\phi(\text{far})}{a} = D_{\text{water}} 4 \pi a (\phi(\text{inside})-\phi(\text{far})).$$

Asumiendo finalmente $\phi(\text{far})=0$ por conveniencia, y reordenando por diámetro $d=2a$

$$d = \frac{\dot{N}}{2 \pi D_{\text{water}} \phi(\text{inside})}$$

y sustituyendo

• $D = 1.6\times 10^{-9} m^2/s$ (de la wiki)
• $\phi \approx 1.2 \text{mol}/m^3$ (a partir del nivel máximo de seguridad de la OSHA del 3% en STP)
• $\dot{N}= 4\times 10^{-6} m^3/s = 4.8\times 10^{-6} mol/s$ (de % $CO_2 \approx 4%$ , capacidad pulmonar $\approx 500 mL$ y la frecuencia respiratoria $\approx 1/5 s^{-1}$ )

Me sale $d \approx 400 m$ .

EDIT: Es interesante notar que esto es independiente de la presión: he descuidado la dependencia de la presión de $D$ y la resistencia humana al dióxido de carbono, y la máxima seguridad concentración del dióxido de carbono es independiente de la presión, sólo se deriva de las mediciones a STP.

Por último, una burbuja tan grande probablemente se romperá rápidamente debido a la flotabilidad y a las inestabilidades Plateau-Rayleigh.

Answer 2

Tal vez debería convertir el comentario en una respuesta.

La física de la situación es la misma que cuando se puede volcar un vaso de agua sin que el agua se caiga. La presión atmosférica la mantiene dentro.

Existen los campanas de buceo con fondos abiertos . Al bajar, la presión del aire sube para equilibrar la presión del agua, ya que cuanto más bajo en el agua, mayor es la presión. Creo que una atmósfera son diez metros de agua. La persona del enlace estaba a 30 metros y por eso tuvo que ser descomprimido para no quedar las curvas .

El oxígeno frente al CO2 y el volumen para sobrevivir un día se resuelve en este enlace :

La atmósfera tiene un 20% de oxígeno. La gente lo inspira y expulsa un 15% de oxígeno, lo que hace que el aire que queda sea más bajo en el Good Ol' Oh Two, pero todavía bastante respirable. Cada minuto que una persona está en reposo toma aproximadamente entre siete y ocho litros de aire, lo que suma unos 11.000 litros de aire al día. Eso parece mucho, pero en términos de volumen son sólo 388 pies cúbicos. Una habitación de tres por tres metros tiene 1.000 pies cúbicos de aire. Si a esto le añadimos que exhalará mucho oxígeno, sólo necesitará unos 19 pies cúbicos de oxígeno puro al día. Su respiración puede ser dificultosa al final del segundo día, pero una habitación relativamente pequeña debería estar bien durante unos tres días, ¿verdad?

erróneo porque hay CO2 exhalado que en grandes concentraciones es venenoso:

Una vez que los niveles de dióxido de carbono en la habitación se elevan al dos por ciento, comienza la intoxicación por dióxido de carbono. Eso ocurre cuando el nivel general de oxígeno cae al 19 por ciento, aproximadamente a la mitad del primer día.

Para que la persona sobreviviera tres días el aire comprimido que respiraba debía ser de mucho volumen. A partir de estos números un orden de magnitud estimado para el volumen no renovable para sobrevivir durante 3 días es de 6000 pies cúbicos. Un recinto de 10*25*25 pies es razonable en un remolcador. Tuvo suerte de que el aire se desviara donde estaba atrapado.

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Answer 3

Esto es para resumir algunos de los excelentes comentarios hechos de los participantes en este debate, y subrayar un par de puntos importantes. un par de puntos importantes.

1) La pregunta original implicaba que el intercambio de gases entre la burbuja y el agua circundante puede ser suficiente para mantener indefinidamente organismos que respiran en su interior. Sin embargo, esto no parece ser posible si la burbuja está por debajo del nivel del mar porque el gas en la burbuja acabará disolviéndose en el agua y la burbuja dejará de la burbuja dejará de existir. La razón es que la concentración de gas disuelto disuelta cerca de la superficie de la burbuja tiene que ser mayor que la ambiente. La concentración ambiental no es mayor que su valor en la superficie del océano (es la mezcla convectiva y no la difusión lo que transporta el aire disuelto al océano). Sin embargo la burbuja está a la presión $\sim$ 4 veces la presión atmosférica presión, y según la ley de Henry la concentración de gas disuelto junto a la burbuja debería ser $\sim$ 4 veces mayor que el ambiente (la posible variación de la temperatura no cambia la conclusión general). Así que, con el tiempo, el gas disuelto se difundirá y la burbuja desaparecerá. Así, para cualquier tamaño de la burbuja, con o sin organismos respiratorios en su interior, no hay solución en estado estacionario, si la burbuja está por debajo del nivel del mar. nivel del mar. Esto se ilustra en la figura: para un sifón normal o sifón al revés, el estado de equilibrio tiene un nivel de agua igual en ambas patas. Si uno de los extremos de la pierna en la Fig. A está por debajo del nivel de equilibrio, entonces finalmente no habrá gas en este lado del sifón; esto es similar a no tener agua en una de las patas de la Fig. B si el extremo de esta pata está por encima del nivel de equilibrio.

2) La buena noticia es que la burbuja tardaría mucho tiempo en se difunda. Estima el tiempo de difusión como

$\tau \sim \frac{n_{g}}{c} \frac{a^2}{D},$

donde $c/n_g$ es la relación entre las concentraciones de moléculas de gas disueltas y moléculas de gas en la burbuja, $a$ es el tamaño de la burbuja, $D$ es el coeficiente de difusión del gas disuelto.

Según Wikipedia, a 25 C, $c/n_g$ son: para N $_2$ $1.492\times10^{-2}$ para O $_2$ $3.181\times10^{-2}$ ; para el CO $_2$ $0.8317$ .

Además, según Wikipedia, los valores de $D_g$ son: para C0 $_2$ a 5-25 C $1.07-1.91 \times 10^{-5}$ cm $^2$ /s; para N $_2$ a 25 C $1.88 \times 10^{-5}$ cm $^2$ /s; para O $_2$ a 25 C $2.1\times 10^{-5}$ cm $^2$ /s.

Entonces, con estos números, para una burbuja de aire del tamaño $a\sim$ 1 m la vida útil es $\sim 10^{11}$ s $\sim$ 10.000 años Esto es simplemente irreal (¡si tales cosas fueran posibles ya lo habríamos sabido eso!). El problema de esta estimación es que el coeficiente de difusión del gas en el agua, D $_g\sim$ 10 $^{-5}$ cm $^2$ /s = 10 $^{-9}$ m $^2$ /s sólo se aplica a fenómenos en escalas espaciales pequeñas, por ejemplo, el transporte en medios porosos porosos. Sabemos que podemos hacer agua carbonatada en casa en cuestión de minutos y no de meses. En escalas macroscópicas el transporte está dominado por la turbulencia y los flujos convectivos, y en lugar de la difusión, los modelos de transporte macroscópico utilizan la noción de "velocidad de intercambio" efectiva $V_{ex}$ de tal manera que el flujo de gas disuelto es

$\Gamma = A c V_{ex},$

donde $A$ es el área, $c$ la concentración de gas disuelto.

La idea es que el gas disuelto se elimina por convección de fondo y/o la turbulencia a la velocidad $V_{ex}$ . La magnitud típica de $V_{ex}$ en el océano, cerca de la superficie, puede ser de 1 m/día [referencia necesaria].

La vida de una bolsa de aire es entonces

$\tau \sim \frac{a^3}{a^2 (c/n_g) V_{ex}} = \frac{n_g}{c} \frac{a}{V_{ex}},$

que, para $V_{ex}$ =1 m/día, produce $\tau\sim$ 100 días, mucho más ¡razonable que 10.000 años!

3) Como se ha señalado anteriormente, probablemente no sea necesario hacer complejas suposiciones sobre los flujos de agua, difusión turbulenta, etc., si la burbuja de aire disponible de aire contenga el equivalente a $\sim$ 25 $m^3$ a presión atmosférica presión atmosférica, ahora comprimida en $25/4\sim$ 6 m $^3$ volumen, teóricamente sería suficiente para 2,5 días, sin desgasificación el exceso de CO $_2$ en el agua, o importando O $_2$ de agua circundante (esto último es imposible de todos modos, como se ha comentado en (1) anterior). Tal y como se describe en los medios de comunicación, el hombre ...sobrevivió, respirando dentro de una burbuja de aire de 1 metro de altura mientras se encogía lentamente por las aguas que subían desde el techo del diminuto baño y el dormitorio contiguo '', pero probablemente ese metro y medio burbuja se comunicaba con un volumen mayor de aire bajo el casco del el barco - y esa es la explicación más razonable de esta milagrosa supervivencia.

4) Se puede observar que debido a la diferente solubilidad del CO $_2$ , N $_2$ y O $_2$ estos gases saldrán de la burbuja a diferentes ritmos, y esto es quizás una buena noticia. Debido a la respiración humana presente en el interior, el CO $_2$ nivel en la burbuja irá aumentando y el O $_2$ nivel será consecuentemente decreciente. Una vez que esto llega al nivel peligroso, digamos 5 $\%$ CO $_2$ y 15 $\%$ O $_2$ será principalmente CO $_2$ que saldrá de la burbuja, el transporte de otros gases será mucho más lento. Como han señalado otras personas en esta discusión, con la difusión clásica'' la tasa de eliminación de gases no sería suficiente para contrarrestar la acumulación de CO $_2$ (superficie irreal necesaria), pero los flujos de fondo y la turbulencia en el agua pueden aumentar significativamente la velocidad de transporte, y quizás también la superficie disponible (formación de espuma).

Para hacer una estimación cuantitativa, tomemos que la tasa humana de O $_2$ y las emisiones de CO $_2$ la producción es $\sim 10^{25}$ moléculas/día; y para la concentración de dióxido de carbono disuelto disuelto, utilice

$c_{CO2} \sim 0.8 \times 0.05 \times 4 \times 6.02 \times 10^{23} / (22.4 \times 10^{-3} m^3) \sim 4 \times 10^{24} m^{-3}$

Para la tasa de eliminación de dióxido de carbono tomar

$\Gamma_{CO2} \sim a^2 V_{ex} c_{CO2},$

asumiendo el transporte de CO disuelto $_2$ con la velocidad de intercambio $V_{ex}$ =1 m/día, y uno puede ver que sólo un par de metros cuadrados de de superficie sería suficiente para equilibrar la acumulación de CO $_2$ concentración. Este efecto puede probablemente ampliar el tiempo de supervivencia en un factor de $\sim$ 2. Normalmente, sólo una cuarta parte del oxígeno disponible en el aire puede ser utilizado, reduciéndolo del 20 $\%$ al inhalar a 15 $\%$ en exhalar. Con un exceso de CO $_2$ eliminado del aire por el agua, sin embargo, probablemente sobreviviendo en la fracción de oxígeno en el aire tan baja como el 10 $\%$ es posible. Por ejemplo, la mezcla de gases de buceo Heliox utiliza un 10 $\%$ oxígeno (y el resto helio).

5) Y por último, es interesante señalar que en principio en este tipo de situación situación se podría sobrevivir al ascenso libre con una sola respiración desde esta profundidad; en la historia de los accidentes submarinos algunas personas lograron escapar de de submarinos hundidos a la superficie incluso desde mayores profundidades mediante el ascenso libre. ascenso libre. Por supuesto, el riesgo de hacerlo sería enorme, pero probablemente no mayor que el riesgo de no ser encontrado a tiempo.