Una duda sobre una prueba de $\lim \frac{\sin x}{x}$ $x\to 0$ siempre en Simmons el Cálculo con Geometría Analítica

Question

Estoy teniendo dificultades para comprender una prueba de $\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ siempre en Simmons el Cálculo Con Geometría Analítica, pg. 72. La prueba es como sigue:

Deje $P$ $Q$ ser dos puntos cercanos en un círculo unitario, y deje $\overline{PQ}$ $\widehat{PQ}$ denotar la longitud de la cuerda y el arco que conecta estos puntos. A continuación, la relación de la longitud de la cuerda a la longitud de arco evidentemente enfoques 1 como los dos puntos que se mueven juntos:

$\frac{\text{chord lenght}\overline{PQ}}{\text{arc lenght}\widehat{PQ}}\to1$ $\widehat{PQ}\to0$

Con la idea en la figura, este geométricas declaración es equivalente a

$\frac{2\sin{\theta}}{2\theta}=\frac{\sin{\theta}}{\theta}\to1$ $\theta\to0$

Mi duda es, ¿esto no es prueba de que sencillamente $\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=\frac{0}{0}$? Quiero decir, seguro que la relación de $\text{chord lenght}\;\overline{PQ}$ $\text{arc lenght}\;\widehat{PQ}$enfoques de 1 $\theta$ enfoques $0$, pero eso es debido a que tanto el numerador y el denominador enfoque de la samue valor, que es $0$. Cómo es diferente de decir $\lim_{x\to0}\frac{\sin{x}}{x}=1$ debido a que tanto $\sin{x}$ $x$ enfoque de la samue valor de $0$$x\to0$?

Answer 1

Yo creo que tu problema es más profundo que la comprensión de esta prueba.

Lo que hace que el cálculo sea difícil es que es difícil (en un principio) para dar sentido a la relación de dos cantidades pequeñas. Sólo porque ambos "enfoque el mismo valor $0$" no significa que el límite del cociente es $1$.

Por ejemplo $$ \frac{2x}{x} $$ claramente enfoques $2$, ya que es siempre exactamente $2$ al $x$ no $0$.

También $$ \frac{2h+h^2}{h} = 2 + h $$ enfoques $2$ $h$ enfoques $0$, aunque parezca $0/0$ al $h = 0$. Que es en realidad el límite probablemente has visto a la hora de encontrar la pendiente de una parábola (diferenciando $y=x^2$ al $x=1$).

La moraleja de la historia es que usted tiene que prestar atención a la distribución relativa de las tasas en la que el numerador y el denominador enfoque de $0$. En la pregunta que uno se hace, las tarifas son las mismas y el límite es de $1$.

Usted puede tomar consuelo en el hecho de que este fue un matemático y filosófico dificultades a la hora de Newton y Leibniz fueron la invención del cálculo.

Nota: esta en una conversación informal. La definición formal de los límites evita palabras como "enfoques". Y @Bernard 's comentario sobre el argumento geométrico para $\sin(x)/x$ señala correctamente la informalidad.

Answer 2

Me gusta esta figura mejor.

Hay dos triángulos aquí y una sección de un círculo con un ángulo de medida x.

La base de los dos triángulos es 1. Las alturas son $\sin x, \tan x$

Las áreas son: más pequeño triángulo $\frac 12 \sin x,$ la sección del círculo $\frac 12 x,$ un triángulo más grande $\frac 12 \tan x.$

$|\sen x|\le |x| \le |\tan x|\\ 1\le \frac {x}{\sin x} \le \sec x\\ 1\ge \frac {\sin x}{x} \ge \cos x$

Deje $x$ $0$ $\frac {\sin x}{x}$ es apretado.

Answer 3

Las preguntas planteadas en el último párrafo de tu post se manejan mejor por la excelente respuesta de Ethan Bolker. El siguiente es un comentario sobre la prueba dada en su libro.

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Realmente no puedo creer que esta es una prueba real dada en un libro real. Si este es realmente el caso, como usted dice, entonces este es uno de los más audaces ejemplos de deshonestidad intelectual perpetrados por la mayoría de cálculo de libros de texto de los autores.

Tenga en cuenta que $$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x} {x} = 1\Rightarrow \frac{\text{chord length } PQ} {\text{arc length } PQ} \to 1 \text{ as arc length }PQ\to 0$$ and not the other way round as the proof in your book seems to suggest. For the case of a circle, the ratio of chord length to arc length tends to $1$ pero esto no es tan evidente como Simmons escribe, sino que depende el límite en cuestión aquí. La prueba se presentan en el libro es simplemente una mano saludando.

La prueba para el límite se puede dar fácilmente el uso de áreas de sectores en lugar de las longitudes de los arcos debido a que el análisis de la longitud del arco es significativamente más complicado en comparación con el de las áreas. El estándar de prueba es el mencionado por el usuario robjohn en esta respuesta.

Cuando se utiliza la longitud del arco, tenemos dos opciones:

• Establecer que la relación de la longitud de la cuerda a la longitud del arco tiende a $1$ como la longitud del arco tiende a $0$ para una clase general de suficientemente bien comportado curvas (y el círculo es uno de esos curva) y, a continuación, discutir como en su libro. Esto puede hacerse mediante un análisis riguroso de la longitud de arco de un general de la curva y el uso de algunos teoremas del cálculo integral.

• Tratar el caso de círculo en la base especial y establecer la desigualdad de $\sin x<x<\tan x$ $x\in(0,\pi/2)$ el uso de la longitud de arco de un círculo y, a continuación, aplicar el teorema del sándwich.

Answer 4

Una más correcta geométrica prueba consistiría en considerar la intersección $P'$ $Q'$ de las líneas de $(OP)$ $(OQ)$ con la tangente al círculo en el punto medio $A$ de los arc $PQ$. El triángulo OPQ está contenida en el círculo del sector de la OPQ, el cual está contenida en el triángulo $OP'Q'$. Por lo tanto, tenemos la correspondiente desigualdades entre las áreas de estos dominios (suponemos que el círculo tiene radio de $1$): $$\sin\theta\cos\theta\le \theta\le\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}.$$ El l.h.s. la desigualdad es equivalente a $$\frac{\sin\theta}\theta\le\frac1{\cos\theta},$$ y la r.h.s. la desigualdad $$\frac{\sin\theta}\theta\ge\cos\theta$$ Como $\cos\theta$ es continua en a $0$, apretando el principio de los rendimientos de los limites que te estaban esperando.

Answer 5

Uno puede interpretar la prueba de una forma más abstracta, de manera intuitiva. Como la longitud del arco disminuye, su "curvatura" desaparece (es decir, se convierte en una línea recta). Podemos decir que esto es $sin(\theta) \to \theta $$ \theta \to 0$. Teniendo esto en cuenta:

$$\lim_{\theta \to 0}\frac{sin\theta}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta}{\theta} = \lim_{\theta \to 0} 1 = 1$$