Encontrar el $\frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}$

Question

Deje $a,b,c$ tal $$a\sin^2{x}+b\cos^2{x}=c,~~~\dfrac{a}{\sin^2{x}}+\dfrac{b}{\cos^2{x}}=c$$ encontrar el valor $$\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}$$

Answer 1

Tenga en cuenta que $c-a = b\cos^2x - a(1 - \sin^2x) = (b-a) \cos^2x$.

Del mismo modo, $c - b = (a-b)\sin^2x$, lo $b-c = (b-a) \sin^2x$

Por lo tanto, $\frac{a}{b-c} = \frac{a}{(b-a) \sin^2x}$, e $\frac{b}{c-a} = \frac{b}{(b-a) \cos^2x}$.

La adición de estos, $\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} = \frac{1}{b-a} \left(\frac{a}{\sin^2 x} + \frac b{\cos^2 x}\right) = \frac{c}{b-a} = \frac{-c}{a-b}$.

Por lo tanto, $\frac{a}{b-c} + \frac{b}{c-a} + \frac c{a-b} = \frac{-c + c}{a-b} = 0$.

Answer 2

un$\cos^2x$+b$\sin^2x =c$

Dividir esta ecuación por $\cos^2x$.

Tenemos por lo tanto,a+b $\tan^2x$=c $\sec^2x$.

$\sec^2x$=$\tan^2x$ +1.Esto da el valor de $\tan^2x$=(a-c)/(c-b).

Por lo tanto los valores de $\cos^2x$ $\sin^2x$ se obtienen. estos valores se incluyen en la ecuación de a/$\cos^2x$ + b/$\sin^2x$=c.

Por lo tanto el valor requerido se obtiene de la c/(a-b) + a/(b-c) + b/(c-a)=0.

Espero que u entender.