La pregunta. Puede cada $n\in \mathbb N$ puede ser escrita:
$$n=a^2\pm b^2\pm c^2$$
donde $\pm$ son signos de su elección?
Sabemos que con la de Lagrange de cuatro cuadrados teorema que todo número entero se puede escribir como la suma de cuatro cuadrados.
Además, han de Legendre de tres cuadrados teorema declaró que un entero no puede ser escrito como la suma de tres cuadrados si, y sólo si, es de la forma:
$$4^k(8n+7).$$
Así que sólo tenemos que demostrar (o refutar) para cada número de este formulario.
He comprobado hasta $55$, y parece que funciona hasta la fecha. Por lo que el número que tenemos que revisar son estos.
Por ejemplo:
$$31=6^2-2^2-1^2$$
y
$$39=6^2+2^2-1^2.$$
El problema aquí es que $a$, $b$ y $c$ puede ser arbitrariamente grande. Por ejemplo:
$$183=14542^2-14541^2-170^2.$$
Así que realmente no sé cómo probar o refutar este resultado, y creo que podría ir en cualquier dirección.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La paciencia, en realidad es bastante simple!
Así que supongamos que tenemos un número $l$. Supongamos que $l=pq$, $p,q$ tener la misma paridad. Es decir, tanto en $p$ $q$ son incluso, o ambas $p$ $q$ son impares.
Si este es el caso, considere la posibilidad de $a= \frac{p+q}{2}, b= \frac{p-q}{2}$. A continuación, tenga en cuenta que $a^2 - b^2 = pq = l$!
Por ejemplo, $183 = 61*3$, lo $a=32$$b = 29$, e $32^2-29^2 = 1024 - 841 = 183$.
Ahora, cuando puede a $l$ ser escrita en esta forma? Al menos al $l$ es extraño, ya que luego se puede dividir en dos impares factores (incluso si uno de esos factores es $1$ : por ejemplo,$7=7*1 = 4^2-3^2$) y llevar a cabo el procedimiento anterior.
Por último, dado un número, sólo resta (o agregar!) $1^2=1$ sea un número impar,que puede ser expresada como una diferencia de cuadrados.
Por ejemplo: dado $39$, podemos escribir $39=13*3 = 8^2 - 5^2$. Dado $78$, podemos escribir $78 = 77 + 1 = 11*7 +1 = 9^2-2^2+1^2$.
¿Cuál es la razón para tanta flexibilidad? Simple : $(a^2-b^2)$ tiene un no-trivial de la factorización, mientras que $a^2+b^2$ no. Esto es lo que hace todo el aditivo de la teoría de plazas (y el problema de Waring) tan interesante y difícil.
