Supongamos que $f$ and $g$ are two commuting continuous mappings from the closed unit disk (or, if you prefer, the closed unit ball in $R^n$) to itself. Does there always exist a point $x$ such that $f(x)=g(x)$?
Si una de las asignaciones es invertible, entonces es sólo una reafirmación de Brouwer del teorema de punto fijo, pero no sé la respuesta en el caso general, y ni siquiera se atreven a adivinar lo que debe ser. También, la respuesta es bien conocido por ser "Sí" en la dimensión $.
Una respuesta positiva a esta pregunta implicaría una respuesta positiva al problema abierto sobre la existencia de un "punto de coincidencia" de dos desplazamientos de los mapas de $f_1, f_2: T\to T$, where $T$ es el triod (trípode), vea la Pregunta 1 de la encuesta de McDowell http://topology.auburn.edu/tp/reprints/v34/tp34025p1.pdf
El punto es que si $f_1, f_2: T\to T$ are commuting maps as above, one can define maps $\tilde{f_i}=f_i\circ R: D^2\to D^2$ where $R: D^2\to T$ is a retraction. (I am assuming that $T$ is embedded in $D^2$.) Then $\tilde{f_1}, \tilde{f_2}$ commute if and only if $f_1$ and $f_2$ commute, furthermore, $f_1$ and $f_2$ have a coincidence point $x, f_1(x)=f_2(x),$ if and only if $\tilde{f_1}, \tilde{f_2}$ do.
Por supuesto, si uno fuera a buscar ejemplos de lo contrario, sería más fácil encontrar entre los mapas de la 2-disco.
Por cierto, parece que la coincidencia problema (en la configuración general de colectores compactos) fue abordado por primera vez por Lefschetz, ver http://en.wikipedia.org/wiki/Lefschetz_fixed-point_theorem . Lefschetz fórmula para la coincidencia fue extendido para compactar los colectores con el límite en la década de 1980, véanse las referencias en Saveliev del papel http://arxiv.org/pdf/math.AT/9909028.pdf
Estoy seguro de que lo que escribo ha sido considerado por muchos, pero es un punto de partida que pensé que debe ser por escrito.
En primer lugar por el punto fijo de Brouwer teorema $f$ has at least one fixed point, say $\bar{x}=f(\bar{x})$.
Si ese punto fijo es único (contracción de las asignaciones de primavera a la mente un montón de ejemplos de esto) estamos de hecho desde $g(\bar{x})=g(f(\bar{x}))=f(g(\bar{x}))$ and we see that $g(\bar{x})$ is "another" fixed point of $f$, since the fixed point was unique $g(\bar{x})=\bar{x}=f(\bar{x})$.
"Menos bonito" $f$ we still have that $f(g(\bar{x}))=g(\bar{x})$... in fact for any $n\in\mathbb{N}$ we have $f(g^n(\bar{x}))=g^n(\bar{x})$. If (without resorting to sequences) $g^n(\bar{x})\to y$, we can again claim success since we'll have $g(y)=y$ and $f(y)=y$.
A menos que haya otro "obvio" caso fácil que me perdí parece interesantes, como las de los casos va a ser al $g^n(\bar{x})$ does not converge. Two sub-cases spring to mind: when $g^{n}(\bar{x})$ has finitely many accumulation points (like when $g^n(\bar{x})$ is a periodic point of $g$), or ... it has lots. Intuition (really thinking about rational and then irrational rotations about the origin as one way to generate those two cases) tells me that in either of these cases what we really need to do drop the $\bar{x}$ como un "punto de partida".
"Sería bueno" si podemos demostrar $g$ conjugate to a rotation in the above two cases. Any thought on if that is true or not? I suspect not else $g$ tendría un único punto fijo y nos gustaría hacer (como arriba)... tal vez semi-conjugado... pero ¿eso ayuda? Nueva mente, los pensamientos?
Yo sólo encontré algo de información sobre todo el unidimensional versión de este problema, que aparece en Victor Klee inéditas de los Problemas Irresueltos de la Geometría Intuitiva. Su formulación es:
"Supongamos $I$ is a closed interval of real numbers, and $f$ and $g$ son los desplazamientos continuos de mapas de $I$ dentro de sí mismo. Deben tener en común un punto fijo?"
Él atribuye el problema a J. R. Isbell, a partir de 1957 ["Problema de Investigación #7: los Desplazamientos de las asignaciones de de los árboles", Bull. Amer. De matemáticas. Soc. 63 (1957), 419]. Respuestas negativas por Boyce y Huneke fueron publicadas (en los Avisos de Amer. De matemáticas. Soc.) en la década de 1960. (Harald Hanche-Olsen cita el Huneke papel en los comentarios de arriba). Branko Grünbaum cita una encuesta reciente sobre el tema: Eric L. McDowell, "la Coincidencia de los Valores de los Desplazamientos de las Funciones," la Topología de los Procedimientos de 34 (2009) pp 365-384. No puedo acceder fácilmente a este papel, pero Grünbaum dice que contiene nuevos resultados y una amplia bibliografía.
También hay un resultado debido a los Escudos, lo que implica un común punto fijo (y, por tanto, un punto de coincidencia), suponiendo que $f$ and $g$ son analíticos en el disco.
A. L. Escudos, En puntos fijos de desplazamientos de funciones analíticas, Proc. Amer. De matemáticas. Soc. 15(1964), 703-706. MR 29 #2790.
Las siguientes no es una solución sino una reformulación del problema original.
Para hacer $f\colon B\to B$ invertible let us pass from the ball $B$ to the solenoid $S_f$, $$ S_f=\{\{x_n, n\in\mathbb Z\}: x_{n+1}=f(x_n)\} $$
Mapa de $f$ induces the shift $f_*\colon S_f\to S_f$ and g induces $g_*(\{x_n\})=\{g(x_n)\}$. They commute and $f_*$ es invertible. Si Brower del teorema de punto fijo fueron verdaderos para $S_f$ the result would follow. Indeed, a fixed point of $f_*^{-1}\circ g_*$ da la órbita deseada.
Solenoide $S_f$ is a non-empty closed subset of $B^{\mathbb Z}$ eqiupped with the product topology. Hence $S_f$ is compact. In fact, $S_f\subset K^{\mathbb Z}$, donde $K=\cap_{n>0}f^n(B)$. And I think it is plausible (can anybody give a proof?) that $S_f$ contracts to the orbit of the fixed point of $f$. (más tarde: no estoy seguro ahora)
Por desgracia, Brower del teorema de punto fijo no se mantiene compacto contráctiles de los espacios. Pero esto parece ser bastante antiguo y área de investigación activa como he aprendido desde la introducción a este trabajo http://www.ams.org/journals/tran/1999-351-03/S0002-9947-99-02071-1/S0002-9947-99-02071-1.pdf La gente de demostrar resultados positivos bajo diversos supuestos adicionales.
Así que, tal vez, es útil mirar el problema desde este punto de vista.
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