La siguiente historia es verdadera, no sólo para hacer de sonido misterioso o coincidencia. He encontrado una muy curiosa secuencia de números enteros, y la búsqueda no dio ningún resultado. Estoy tratando de aprender más acerca de él, sólo por diversión.
Estábamos tomando un descanso con dos amigos, y se me ocurrió el siguiente juego en la escalera:
- Suponga que hay $n$ escaleras (por lo $n+1$ lugares a pie);
- Comenzando desde la parte inferior, sube 1 escalera a la vez, hasta llegar a la parte superior;
- A continuación, dar la vuelta e ir hacia abajo 2 escaleras en un tiempo, hasta que usted no puede ir más allá;
- A continuación, dar la vuelta y regresar hasta 3 escaleras en un tiempo, hasta que usted no puede ir más allá;
- .. A continuación, 4, 5, 6, etc. escaleras en un tiempo, hasta que usted no puede incluso hacer que un paso.
Sea cual sea el tamaño de paso es cuando se detenga (el que no se puede lograr), es característico de el número de escalones en la escalera, y la llamamos la Mona número (después de que mi amigo Mona).
Por Ejemplo: Para $n=5$ subimos a la parte de arriba, luego hacia abajo en conjuntos de $2$ hasta llegar a $1$, a continuación,$3$$4$, para luego bajar por $4$$0$, a continuación,$5$$5$, y, a continuación, estamos estancados porque no hay $6$ escaleras para ir hacia abajo desde nuestra posición actual. Por lo tanto,$M(5)=6$.
A partir de allí, nos preguntamos si podríamos encontrar una fórmula para que el número. Evidentemente tiene que ser de al menos 2 (subiendo las escaleras una escalera a la vez debe ser siempre posible), pero no es monotónica con el número de escaleras. El "reflejo" de la operación de "la vuelta" hace que sea muy difícil; en particular, el sistema tiene una memoria, pero el estado de los que la memoria no depende sólo de la anterior tamaño de paso. En lugar de eso, nos escribió un programa para el (código de Matlab):
function k = mona(n)
assert( n >= 1 );
h = n;
k = 2;
while h >= k
h = mod(h,k);
h = n-h;
k = k+1;
end
end
donde n es el número de escaleras, k es el tamaño del paso, y h es el "horizonte" - también conocido como el número de escaleras que restan hasta el final de la escalera para un determinado tamaño de paso. Trazado de los primeros 1000 números enteros se parece a esto:
He pensado en ello durante un tiempo, pero es mucho más complicado de analizar de lo que parece, y la analítica, la formulación de la secuencia es feo, así que no estoy seguro de que puede ayudar.
Yo sería curioso saber si esto se refiere a cualquier proceso entero? Y si no, si usted tiene una ingeniosa idea de cómo analizar la Mona de la secuencia?
Acerca de la envolvente
Como se puede observar en el gráfico, parece ser que hay una delimitación de cono para la progresión de esta secuencia. Esta "envoltura" corresponde a los siguientes casos (que se encuentra mediante programación):
\begin{align} N_\mathrm{upper} &= \left\{ n\ |\ M(n)=n+1 \right\} = \{ 1,2,5,8,14,50,119,200,269,299, ... \} \\ N_\mathrm{lower} &= \left\{ n\ |\ M(n)=\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil + 1 \right\} = \{ 1,3,7,39,47,111,959, ... \} \end{align}
Sin embargo, una vez más, ninguna de estas secuencias de dar un golpe en la OEIS.