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Una curiosa secuencia (Ascendente y descendente de una escalera)

La siguiente historia es verdadera, no sólo para hacer de sonido misterioso o coincidencia. He encontrado una muy curiosa secuencia de números enteros, y la búsqueda no dio ningún resultado. Estoy tratando de aprender más acerca de él, sólo por diversión.

Estábamos tomando un descanso con dos amigos, y se me ocurrió el siguiente juego en la escalera:

  • Suponga que hay $n$ escaleras (por lo $n+1$ lugares a pie);
  • Comenzando desde la parte inferior, sube 1 escalera a la vez, hasta llegar a la parte superior;
  • A continuación, dar la vuelta e ir hacia abajo 2 escaleras en un tiempo, hasta que usted no puede ir más allá;
  • A continuación, dar la vuelta y regresar hasta 3 escaleras en un tiempo, hasta que usted no puede ir más allá;
  • .. A continuación, 4, 5, 6, etc. escaleras en un tiempo, hasta que usted no puede incluso hacer que un paso.

Sea cual sea el tamaño de paso es cuando se detenga (el que no se puede lograr), es característico de el número de escalones en la escalera, y la llamamos la Mona número (después de que mi amigo Mona).

Por Ejemplo: Para $n=5$ subimos a la parte de arriba, luego hacia abajo en conjuntos de $2$ hasta llegar a $1$, a continuación,$3$$4$, para luego bajar por $4$$0$, a continuación,$5$$5$, y, a continuación, estamos estancados porque no hay $6$ escaleras para ir hacia abajo desde nuestra posición actual. Por lo tanto,$M(5)=6$.

A partir de allí, nos preguntamos si podríamos encontrar una fórmula para que el número. Evidentemente tiene que ser de al menos 2 (subiendo las escaleras una escalera a la vez debe ser siempre posible), pero no es monotónica con el número de escaleras. El "reflejo" de la operación de "la vuelta" hace que sea muy difícil; en particular, el sistema tiene una memoria, pero el estado de los que la memoria no depende sólo de la anterior tamaño de paso. En lugar de eso, nos escribió un programa para el (código de Matlab):

function k = mona(n)

    assert( n >= 1 );    
    h = n;
    k = 2;

    while h >= k
        h = mod(h,k);
        h = n-h;
        k = k+1;
    end

end

donde n es el número de escaleras, k es el tamaño del paso, y h es el "horizonte" - también conocido como el número de escaleras que restan hasta el final de la escalera para un determinado tamaño de paso. Trazado de los primeros 1000 números enteros se parece a esto:

Mona sequence for the first 1000 integers

He pensado en ello durante un tiempo, pero es mucho más complicado de analizar de lo que parece, y la analítica, la formulación de la secuencia es feo, así que no estoy seguro de que puede ayudar.

Yo sería curioso saber si esto se refiere a cualquier proceso entero? Y si no, si usted tiene una ingeniosa idea de cómo analizar la Mona de la secuencia?


Acerca de la envolvente

Como se puede observar en el gráfico, parece ser que hay una delimitación de cono para la progresión de esta secuencia. Esta "envoltura" corresponde a los siguientes casos (que se encuentra mediante programación):

\begin{align} N_\mathrm{upper} &= \left\{ n\ |\ M(n)=n+1 \right\} = \{ 1,2,5,8,14,50,119,200,269,299, ... \} \\ N_\mathrm{lower} &= \left\{ n\ |\ M(n)=\left\lceil \frac{n}{2}\right\rceil + 1 \right\} = \{ 1,3,7,39,47,111,959, ... \} \end{align}

Sin embargo, una vez más, ninguna de estas secuencias de dar un golpe en la OEIS.

5voto

Peter Kagey Puntos 116

Yo sería curioso saber si esto se refiere a cualquier proceso entero?

Esto me recuerda a la Fibonacho de la secuencia (A280521) que se le pidió en Reddit por el usuario Teblefer-y, más específicamente, me recuerda el número natural generalización: A057945.

El Fibonacho la secuencia funciona de manera similar (la cita del post de Reddit):

dos personas están compartiendo un plato de nachos. Ellos se turnan para dividir los nachos, cada uno toma el enésimo número de Fibonacci de nachos en la enésima vez. Cuando el número de nachos de la izquierda es menor que el siguiente número de Fibonacci, que iniciar la secuencia. ¿Qué número de nachos (menos de 500) requiere de un mayor número de reinicios? ¿Cómo generar números de nachos con un alto número de reinicios?

En una reciente conferencia, Neil Sloane (el fundador de la OEIS) analiza el Fibonacho la secuencia y sus generalizaciones. (Puede ver los detalles en las Diapositivas 18-23 y el vídeo a partir de las 12:50.)

En general, Neil sugiere que no ha habido mucho exploración de (o visión) estos Fibonacho-como los problemas, lo que me lleva a creer que la "Mona" de la secuencia es, probablemente, en gran parte inexplorado.


He añadido estos y secuencias relacionadas a la OEIS y vinculado de nuevo a esta pregunta.

  • A282442: menor tamaño de paso que no se produce.
    • 2, 3, 3, 4, 6, 5, 5, 9, 9, 8, 10, 11, ...
  • A282443: el paso más grande que el tamaño que ocurre.
    • 1, 2, 2, 3, 5, 4, 4, 8, 8, 7, 9, 10, ...
  • A282444: Números de $n$ tal que $A282442(n) = n + 1$.
    • 1, 2, 5, 8, 14, 50, 119, 200, 269, 299, 1154, 5369, ...
  • A282427: Números de $n$ tal que $A282442(n) = \lceil\frac{n}{2}\rceil + 1$.
    • 1, 3, 7, 39, 47, 111, 959, 3319, 7407, 11967, 13007, 16239, ...
  • A282434: Posiciones de los registros en A282442.
    • 1, 2, 4, 5, 8, 11, 12, 14, 18, 19, 21, 24, ...
  • A282573: Número de pasos.
    • 1, 3, 4, 7, 10, 12, 13, 19, 20, 23, 26, 32, ...
  • A282574: posición Final.
    • 1, 0, 1, 3, 5, 2, 3, 0, 1, 7, 9, 2, 3, 0, ...

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