Topología más pequeña que contiene una familia de otras topologías en un conjunto $X$

Question

Dejemos que $T_a$ sea una familia de topologías sobre un conjunto $X$ . ¿Cuál es la topología más pequeña que contiene todas las $T_a$ ? Obviamente, lo más pequeño que podría ser es la unión de todas las $T_a$ pero eso no es siempre una topología. Entonces, ¿es sólo la topología generada por la subbase $\bigcup T_a$ ? Me parece que es una respuesta demasiado simple, ya que la pregunta está formulada pidiendo que se demuestre que existe un único topología más pequeña que contiene todos los $T_a$ .

(Estoy trabajando en la obra de Munkres Topología por mi cuenta).

Answer 1

Sí, es la topología la que tiene $\bigcup T_a$ como subbase. También es la topología final con respecto a la familia $\iota_a\colon (X,T_a) \to X$ , donde $\iota_a$ es el mapa de identidad para todos los $a$ .

Me parece que es una respuesta demasiado simple, ya que la pregunta está formulada pidiendo que se demuestre que existe una única topología más pequeña que contiene todas las $T_a$ .

Es así de simple, aunque hay que decir una o dos palabras sobre el hecho de que es efectivamente más gruesa que cualquier topología que contenga todos los $T_a$ (y por lo tanto se determina de forma única como el El más pequeño elemento en un conjunto parcialmente ordenado; no sólo un mínimo que no tiene por qué ser único). Pero unas pocas palabras son realmente suficientes.

Answer 2

Como escribió Daniel es la topología la que tiene $\bigcup T_a$ como subbase. Por tanto, es el conjunto de todas las uniones de intersecciones finitas de conjuntos en $\bigcup T_a$ . Otra forma de describirlo es como la intersección de todas las topologías en $X$ que contiene $\bigcup T_a$ (hay al menos uno, a saber, el conjunto de potencias $\mathcal P(X)$ ). Sin embargo, podemos aprovechar el conocimiento de que cada $T_a$ es una topología, porque esto requiere que sólo intersecamos conjuntos de diferentes $T_a$ 's. Por ejemplo, si tiene $T_1$ y $T_2$ entonces la topología más pequeña que los contiene es el conjunto de uniones de conjuntos de la forma $U_1\cap U_2$ , donde $U_1\in T_1$ y $U_2\in T_2$ . En particular, si $T$ es cualquier topología y $T_2$ es la topología $\{\emptyset, X, A\}$ para cualquier subconjunto $A$ en $X$ entonces la topología más pequeña se llama $T(A)$ y se puede expresar como $$T(A)=\{U\cup(V\cap A)\mid U\in T, V\in T\}$$