Consideremos un modelo estadístico simple $\{f_{\theta}\}$ donde $\theta\in U$, un subconjunto abierto de $\mathbb{R}$. Sea $X_1,\dots,X_n$ muestra de $f_{\theta}$. Sé que, bajo ciertas condiciones de regularidad, eso $$ n \text{Var}_{\theta}\left(\hat{\theta}_{MLE}(X_1,\dots.X_n)\right)\to 1/I_{\theta},$$ where $I_{\theta}$ is the Fisher information. Can someone provide a proof (or a link to a reference) to the above result? In the books I have, I could find only proof of the following (relevant) result which is actually called asymptotic normality: $$\sqrt{n}\left(\hat{\theta}_{MLE}(X_1,\dots.X_n)-\theta\right)\stackrel{d}{\to} \mathcal{N}(0,1/I_{\theta}).$$ muchas gracias.
Respuesta
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Por hipótesis, $\sqrt{n}\hat\theta_n=\sqrt{n}\theta+Z_n$ donde $Z_n$ converge en distribución a un centrado variable aleatoria normal $Z$ % variación $1/I_\theta$, y se preguntan si uno puede deducir que $E[Z_n^2]\to E[Z^2]$. Obviamente, es necesario algunas hipótesis complementaria, que puede ser por integrabilidad uniforme, que $E[|Z_n|^3]$ limita uniformemente en $n$.
