Grupo fundamental de Antoine ' collar s

Question

Que $A \subset \mathbb{R}^3$ denotan collar de Antoine. Es bien sabido que $A$ es un espacio de Cantor y que $\mathbb{R}^3 \backslash A$ no es simplemente conexa. Además, $\pi_1(\mathbb{R}^3 \backslash A)$ no es siquiera finitamente generado.

¿Pero lo que realmente se conoce este grupo? ¿Es contable? ¿Es isomorfo a algún grupo clásico tal que $\mathbb{R}$ o $\mathbb{Q}$? ¿Es libre de torsión o abeliano?

Answer 1

En su libro los Nudos y Enlaces, Rolfsen muestra que, la redacción Antoine collar de la $A$ como una intersección de las cadenas de tori $\bigcap\limits_{n \geq 0} C_n$ como de costumbre, las inclusiones $\mathbb{R}^3 \backslash C_n \hookrightarrow \mathbb{R}^3 \backslash C_{n+1}$ $\pi_1$- inyectiva, por lo que el grupo fundamental de la

$$ \pi_1( \mathbb{R}^3 \backslash A) = \bigcup\limits_{n \geq 0} \pi_1( \mathbb{R}^3 \backslash C_n)$$

es un límite de nudo grupos. En particular, podemos deducir que el grupo está contables, no abelian y torsiones (gracias a studiosus).

Por otra parte, es una prueba en Rolfsen del libro para mostrar que $H_1(\mathbb{R}^3 \backslash A)=0$, lo $\pi_1(\mathbb{R}^3 \backslash A)$ es un perfecto grupo (es decir. igual a su propio colector subgrupo).