$a,b,c>0$ Demostrar la desigualdad $$ (\leq 1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2) (1+a+b^2)(1+b+c^2)(1+c+a^2). $$ Parece la desigualdad del cambio debe ayudar pero no puedo hacerlo. ¿Alguna idea?
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Sugerencia: Puede utilizar la desigualdad de Karamata y la concavidad de la función de $\log$, con el hecho de que $(1+a+a^2, 1+b+b^2, 1+c+c^2) \succ (1+a+b^2, 1+b+c^2, 1+c+a^2)$ a concluir que: $$\sum_{cyc} \log(1+a+a^2) \le \sum_{cyc} \log(1+a+b^2)$ $
P.S: el mismo planteamiento proporciona una prueba simple para la declaración más general Darij en su puesto de trabajo.
Sí, se trata de la reorganización de la desigualdad, pero no literalmente. Se necesitan los siguientes analógica de la misma:
Multiplicativa de reordenamiento de la desigualdad. Deje $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $b_1, b_2, \ldots, b_n$ $2n$ reales no negativos. Deje $\sigma$ ser una permutación de $\left\{1, 2, \ldots, n\right\}$ de manera tal que no $i$ $j$ satisfacer $a_i > a_j$$b_{\sigma\left(i\right)} < b_{\sigma\left(j\right)}$. (En este caso, decimos que el $n$-tuplas $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$ $\left(b_{\sigma\left(1\right)}, b_{\sigma\left(2\right)}, \ldots, b_{\sigma\left(n\right)}\right)$ son débilmente equi-ordenó.) A continuación,
$\prod\limits_{i=1}^n \left(a_i + b_i\right) \geq \prod\limits_{i=1}^n \left(a_i + b_{\sigma\left(i\right)}\right)$.
Para obtener su desigualdad a partir de esto, supongamos WLOG que establece $a_1 = 1+a$, $a_2 = 1+b$, $a_3 = 1+c$, $b_1 = b^2$, $b_2 = c^2$, $b_3 = a^2$ y $\sigma = \left(3,1,2\right)$ (en una línea de notación).
Cómo probar el multiplicativo de reordenamiento de la desigualdad? Recuerdo que hacerlo en AoPS hace mucho tiempo, pero no puedo encontrar el post y no recuerdo que es particularmente fácil de leer, así que voy a dar un par de consejos:
1. Demostrar que existe una permutación $\tau \in S_n$ tal que $a_{\tau\left(1\right)} \leq a_{\tau\left(2\right)} \leq \cdots \leq a_{\tau\left(n\right)}$$b_{\sigma\left(\tau\left(1\right)\right)} \leq b_{\sigma\left(\tau\left(2\right)\right)} \leq \cdots \leq b_{\sigma\left(\tau\left(n\right)\right)}$. Esto es pura combinatoria, y bastante sencillo: en Primer lugar, encontrar $\tau$ tal que $a_{\tau\left(1\right)} \leq a_{\tau\left(2\right)} \leq \cdots \leq a_{\tau\left(n\right)}$ mantiene. Entonces, usted tiene $b_{\sigma\left(\tau\left(i\right)\right)} \leq b_{\sigma\left(\tau\left(j\right)\right)}$ por cada $i < j$ satisfacción $a_{\tau\left(i\right)} < a_{\tau\left(j\right)}$ (a causa de la "débilmente equi-ordenó la" condición), pero de vez en cuando puede tener opuestos desigualdades por $i < j$ satisfacción $a_{\tau\left(i\right)} = a_{\tau\left(j\right)}$. Corrección de estos frente a las desigualdades mediante la ordenación de los correspondientes valores de $\tau$ en el "orden correcto".
2. Fijar un $\tau$. Por la continuidad, suponga que tiene estricta de las desigualdades $a_{\tau\left(1\right)} < a_{\tau\left(2\right)} < \cdots < a_{\tau\left(n\right)}$$b_{\sigma\left(\tau\left(1\right)\right)} < b_{\sigma\left(\tau\left(2\right)\right)} < \cdots < b_{\sigma\left(\tau\left(n\right)\right)}$.
3. Aplicar el Teorema 3 de la Ley Ka Ho, Variantes y Generalizaciones para el Reordenamiento de la Desigualdad, Matemática Excalibur 19/3 a $\left(a_{\tau\left(1\right)}, a_{\tau\left(2\right)}, \ldots, a_{\tau\left(n\right)}\right)$ $\left(b_{\sigma\left(\tau\left(1\right)\right)}, b_{\sigma\left(\tau\left(2\right)\right)}, \ldots, b_{\sigma\left(\tau\left(n\right)\right)}\right)$ $\tau^{-1} \circ \sigma \circ \tau$ en lugar de $\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right)$$\left(b_1, b_2, \ldots, b_n\right)$$\sigma$. Observe que el Paso 2 fue necesario, porque la prueba en dicho artículo está incompleto: sólo funciona al $a_1 < a_2 < \ldots < a_n$.
Si usted tiene menos de retazos de prueba, por favor compartir!!!
EDIT: La prueba del Teorema 1 en mi post http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h288335p1798111 pueden ser reutilizados (esencialmente mediante la sustitución de sumas de dinero por productos y viceversa) para una prueba de el Paso 3, que evita el uso de el Paso 2.
