Encontrar el máximo de valor $\frac{\gcd(n,[n\sqrt{5}])}{\sqrt{n}}$

Question

Para cualquier entero positivo $n$ encontrar el máximo de la %#% de valor #% $

¿Que $$\dfrac{\gcd(n,\left \lfloor{n\sqrt{5}}\right \rfloor)}{\sqrt{n}}$, entonces tenemos $m=[n\sqrt{5}]$, se dice considerar la ecuación de pell?

Answer 1

Su desigualdad puede ser escrito como $$\sqrt5-\frac1n < \frac{m}n < \sqrt5 \implies \left| \sqrt5 - \frac{m}n \right| < \frac1n$$

así que necesitan de buenas aproximaciones racionales a $\sqrt5$. yo.e, necesitamos soluciones a $5n^2-m^2=k$ para las "pequeñas" positivo $k$. Ahora, ¿qué es "pequeño"? Nota:$\lfloor n\sqrt5 \rfloor = m \implies m^2 + k < (m+1)^2 \implies k < 2m+1$.

Además tenga en cuenta que si $g = \gcd(m, n)$, podemos escribir $m = gx, n = gy, k= g^2z$ positivos $z$. Como buscamos el máximo de $g^2/n = g/y \approx \sqrt5 g/x$, necesitamos mantener el $x, y$ más pequeño, mientras que tener mayor $g$. Para escribir la ecuación como $$x^2- 5y^2 = - z$$ donde $0< z < 2x/g +1/g^2 \implies gz \le 2x \implies g/x \le 2/z$. Claramente, el de mayor valor, a continuación, para $g/x$ es al $z=1$, por lo que tratamos de $x^2-5y^2=-1$ primera, que tiene la menor solución de $(2, 1)$. Ahora con $g = 4$, y de obtener el máximo al $m = gx = 8, n = gy = 4$ dar max $\dfrac{\gcd(4, \lfloor 4\sqrt5\rfloor)}{\sqrt4} = 2$.