¿Existe una función $f:\mathbb R \to (0,\infty)$ tal que $f(x)f(y)\le|x-y|, \forall x\in \mathbb Q , \forall y \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$?
Respuesta
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No hay tal función. Considere la posibilidad de cualquier función de $g\colon \mathbb{Q} \to (0,+\infty)$. Deje $Y := \mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$. Para cada una de las $q\in \mathbb{Q}$, considere la función $h_q \colon Y \to (0,+\infty)$ dada por
$$h_q(y) = \frac{1}{g(q)}\lvert y- q\rvert$$
y, a continuación,
$$h(y) = \inf \{ h_q(y) : q \in \mathbb{Q}\}.$$
Desde $Y$ es un espacio de Baire (es un espacio polaco), si tuviéramos $h(y) > 0$ todos los $y\in Y$, entonces no sería un conjunto abierto no vacío $U \subset Y$ e una $\varepsilon > 0$ $h(y) \geqslant \varepsilon$ todos los $y\in U$: cada una de las $h_q$ es continuo, por lo tanto para cada $\delta > 0$ el conjunto
$$F(\delta) := \bigcap_{q\in \mathbb{Q}} h_q^{-1}([\delta,+\infty))$$
está cerrada. $h(y) > 0$ todos los $y\in Y$ significa
$$Y = \bigcup_{n = 1}^{\infty} F\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr),$$
por lo $Y$ está escrito como una contables de la unión de conjuntos cerrados, y en un espacio de Baire, uno de estos conjuntos deben tener no vacío interior, decir $\varnothing \neq U = \operatorname{int} F\bigl(\frac{1}{k}\bigr)$,$h(y) \geqslant \frac{1}{k}$$U$.
Pero un abierto no vacío $U \subset Y$ contiene un conjunto $(a,b) \cap Y$$a < b$, y para $q \in (a,b) \cap \mathbb{Q}$ tenemos $h_q(y) < \varepsilon$ en el vacío abierto subconjunto
$$(q - g(q)\varepsilon, q + g(q)\varepsilon)\cap (a,b) \cap Y$$
de $(a,b) \cap Y$, y a fortiori $h(y) < \varepsilon$ no, en contradicción a$h(y) \geqslant \varepsilon$$(a,b) \cap Y$.
De ello se sigue que tenemos $h(y) = 0$ algunos $y\in Y$ (de hecho, cada vacío abierto subconjunto de $Y$ contiene ceros de $h$), y, por tanto, $g$ no es la restricción de una $f\colon \mathbb{R} \to (0,+\infty)$ con la propiedad
$$f(x)f(y)\leqslant \lvert x-y\rvert$$
para todos los $x\in \mathbb{Q}, y \in Y$. Porque si así fuera, la construcción por encima de los a $g = f\lvert_{\mathbb{Q}}$ rendimiento $0 < f(y) \leqslant h(y) = \inf \{h_q(y) : q \in \mathbb{Q}\}$ todos los $y \in Y$.
