Encontrar $\gcd(x^2, x^3)$ en $\mathbb{Z}[x^2,x^3]$

Question

Que $R = \mathbb{Z}[x^2, x^3]$. $R$ Contiene todos los polinomios enteros que falta el término de $x$. Es decir, $R$ contiene todos los polinomios de forma $a_0 + a_2 x^2 + a_3x^3 + \ldots + a_n x^n$ $a_i \in \mathbb{Z}$.

Pregunta: ¿Qué es $\gcd(x^2, x^3)$?

1. $\gcd(x^2, x^3) = d$iff $d \mid x^2, x^3$ y $s \mid x^2, x^3$ y $s \mid d$ $s,d \in R$.

2. ¿Entonces todavía no am me falta algo complicado por lo, o $\gcd(x^2, x^3) = x^2$ este no es el caso?

¿Del mismo modo, no es $\gcd(x^5, x^6) = x^5$?

Answer 1

Tenga en cuenta que $R\subset \mathbb{Z}[x]$, así que si $d\mid x^2$ $R$, entonces el $d\mid x^2$ $\mathbb{Z}[x]$. Por lo tanto (por factorización única en $\mathbb{Z}[x]$ si se quiere) $$d \in \{\pm 1, \pm x, \pm x^2\}\cap R = \{\pm 1, \pm x^2\}$ $

Ahora puede comprobar que $x^2 \nmid x^3$ $R$ y por lo tanto $d = \pm 1$, donde \gcd(x^2,x^3) $$ = 1 $$