¿Cuándo tiene un eje de simetría una combinación lineal de funciones trigonométricas?

Question

Estoy tratando de averiguar cuando una combinación lineal de $\sin(ax)$ y $\cos(bx)$ tiene un eje de simetría.

Claramente, $\sin(x)+\cos(x)$ tiene un eje de simetría en $\pi/4$. Parece como si $\sin(3 x)+\cos(x)$ no tiene un eje de simetría (no podría demostrarlo, pero sugiere que la parcela).

Mi pregunta es: ¿es posible reclamar algunas condiciones sobre lo parámetros de $a$ y $b$ garantizar que una combinación lineal de $\sin(a x)$ y $\cos(b x)$ tienen un eje de simetría?

Answer 1

Vamos a ver lo que sucede, por $\sin(ax)+cos(x), a\neq1$. por su ejemplo, preguntando por un eje de simetría es el mismo como pidiendo $p \in \mathbb{R}$ tal que

$$ \sin(ax+ap) - \sin(-ax + ap) + \cos(x + p ) - \cos(-x + p) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

podemos diferenciar esto tantas veces como se desee, dejando caer las constantes multiplicatively y la obtención de las ecuaciones, permite diferenciar $4n$ veces:

$$ a^{4n}\left( \sin(ax+ap) - \sin(-ax + ap) \right) + \cos(x + p ) - \cos(-x + p) = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} $$

Con este proceso es fácil probar que la única manera de mantener esta igualdad verdadera para todos los $n \in \mathbb{N},x \in \mathbb{R}$ es que cada par de términos sea igual a $0$, por lo que necesitamos $p$ tal que

$$ sin(ax + ap) = sin(-ax + ap), \quad cos(x + p) = cos(-x + p) \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

De aquí se deduce que para el seno, $p \in \{ \frac{\pi}{2a} + \frac{\pi k}{a}, k\in \mathbb{N} \}$ y el coseno $p \in \{ \pi k, k \in \mathbb{N} \}$. Sólo para tener la diversión que se puede buscar en todos los $a$'s tales que hay un eje de simetría, después de algunas manipulaciones se puede ver que hay uno si y sólo si $a \neq 1$ puede ser escrito como una fracción con una extraña numerador y aún denominador.

Para varios términos, se puede separar cada uno de los diferentes de la escala y el uso de los mismos criterios, de manera más general, no lo espero encontrar ejes de simetría, a menos que elegir muy cuidadosamente las constantes.