Campos de número con todos los grados iguales a una potencia de tres

Question

Decir que un campo de número de $\mathbb K$$3$ -potente si el grado ( $\mathbb Q$ ) de cada elemento racional de ${\mathbb K}$ es una potencia de $3$. Por el lema de Zorn, el campo de $\cal A$ de todos los números algebraicos contiene la máxima $3$-potentes campos. También podemos ver que hay diferentes máxima $3$-potentes campos, como por ejemplo un máximo de $3$-poderoso campo que contenga ${\mathbb Q}(2^{\frac{1}{3}})$ nunca coinciden con un máximo de $3$-poderoso campo que contenga ${\mathbb Q}(e^{\frac{2\pi i}{3}}2^{\frac{1}{3}})$.

Son dos maximal $3$-potentes campos isomorfos ?

ACTUALIZACIÓN 26/01/2012 Si $\mathbb M$ es cualquier maximal $3$-potente campo, entonces cualquier irreductible $P\in{\mathbb Q}[X]$ grado $3$ tiene una raíz en $\mathbb M$ (de lo contrario nos podríamos extender $\mathbb M$ mediante la adición de una raíz de $P$).

Y para cualquier $n$, podemos encontrar una secuencia de polinomios irreducibles $P_1,P_2, \ldots, P_n \in {\mathbb Q}[X]$, todos de grado tres, que si $\alpha_k$ es una raíz de $P_k$ por cada $k$, $P_k$ es irreducible en a ${\mathbb Q}[\alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_{k-1}]$. Entonces cualquier maximal $\mathbb M$ contiene un subcuerpo isomorfo a ${\mathbb Q}[\alpha_1,\alpha_2, \ldots ,\alpha_{n}]$.

Esto muestra ya que cualquiera de las dos máximas $3$-poderosos campos de ${\mathbb M}_1$ ${\mathbb M}_2$ contienen arbitrariamente grande isomorfo subcampos.

Sub-pregunta : es un isomorfismo entre el $3$-potentes campos necesariamente único ? (los campos pueden tener finito o infinito de grado por encima del $\mathbb Q$ ; si es verdadera para el caso finito, que en el caso infinito)

Answer 1

Para el subquestion, isomorfismos entre los campos 3-de gran alcance no necesitan ser únicos. Por ejemplo, cualquier extensión abelian de $\mathbb{Q}$ de grado $3^k$ $k > 0$ daría un contraejemplo, como su grupo del automorphism proporciona más de un isomorfismo de él a sí mismo.

Un ejemplo concreto es $\mathbb{Q}(\zeta_7 + \overline{\zeta_7})$ $\zeta_7$ Dónde está una primitiva raíz séptima de la unidad. Este campo es el subcampo real del ciclotómicas campo $\mathbb{Q}(\zeta_7)$ y es así una extensión abeliana de $\mathbb{Q}$ de grado 3.

Answer 2

Esto es más un comentario que una respuesta, pero es un poco demasiado largo para el cuadro de comentario.

Deje $\Omega$ el conjunto de automorfismos de a $\mathcal A$ $\mathbb M_1, \mathbb M_2$ $3$- máxima campos incrustados en $\mathcal A$. Podemos extender cualquier isomorfismo de los subcampos de $\mathcal A$ a un automorphism de $\mathcal A$. En particular, el siguiente conjunto es no vacío

$$\mathcal I=\{(\sigma,E,F) \mid E \subset \mathbb M_1\;,F \subset\mathbb M_2,\sigma \in \Omega, \sigma(E)=F\},$$

que es el tuplas de automorfismos de a $\mathcal A$ que restringir a isomorphims entre los subcampos de $\mathbb M_1$$\mathbb M_2$. El fin de $\mathcal I$ $(\sigma,E,F) \leq (\sigma^\prime,E^\prime,F^\prime)$ si $\sigma^\prime|_E=\sigma$, $E \subset E^\prime$ y $F \subset F^\prime$. Por el lema de Zorn podemos encontrar un elemento maximal $(\varphi,K,L)$. Supongamos que $K \neq \mathbb M_1$ entonces existe algún elemento $\alpha \in \mathbb M_1 \setminus K$ $p(t)=\min_{ K}(\alpha,t)$ es irreducible sobre $K$ y su imagen bajo $\varphi$, $q(t)=\varphi(p(t))$ también es irreducible sobre $L$. Entonces podemos extender $\varphi$ a un automorphism de $K(\alpha)$$L(\alpha)$. Ahora sólo tenemos que encajar $L(\alpha)$ a $\mathbb M_2$. Que es donde estoy atascado, aviso que si podemos hacer esto obligará a $L=\mathbb M_2$ lo contrario $\mathbb M_1$ no sería máxima. Inevitablemente $\mathbb M_2$ contiene un $\mathbb Z$-conjugado de $\alpha$, pero no está claro que esta $\mathbb Z$-conjugado es también una $K$-conjugado. La cuestión se reduce a si es o no $q(t)$ es irreducible sobre $\mathbb M_2$. A mí me parece que el siguiente lema podría proporcionar un afirmativa o negativa la respuesta a esta pregunta:

Deje $K$ ser un subcampo de una $3$-máxima de campo $\mathbb M$. Puede un $p(t) \in K[t]$ existe tal que $p(t)$ es irreductible, y cada raíz de $p(t)$ tiene un poder de $3$$\mathbb Q$. O, equivalentemente, podemos demostrar que si $p(t) \in K[t]$ y cada raíz de $p(t)$ es de orden una potencia de $3$ $\mathbb Q$ $p(t)$ tiene una raíz en $\mathbb M$.

Edit: también Existe la otra pregunta. Deje $p(t) \in \mathbb Q[t]$ ser irreducible si $p(t)$ toma una raíz en un $3$-máxima de campo se tarda una raíz en cada $3$-máxima de campo. Si bien esto es cierto para el grado $3$ polinomios sabemos por esta pregunta de Ewan es que no necesariamente podemos construir un $3$-máxima de campo por una torre de grado $3$ extensiones.

Algunos pensamientos sobre esto. Deje $p(t) \in \mathbb Q[t]$ ser un polinomio irreducible de grado $3^t$ donde $t>1$ $\mathbb M$ $3$- máxima de campo que contiene una raíz de $p(t)$. Supongamos que $\mathbb M_2$ $3$- máxima de campo no contiene una raíz de $p(t)$, $\mathbb M_2(\alpha)$ donde $\alpha$ es cualquier raíz de $p(t)$ no $3$-máxima. En particular, podemos encontrar $\beta \in \mathbb M_2(\alpha)$ cuyo mínimo polinomio no es una potencia de $3$. Deje $L=\mathbb Q(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ donde $\alpha_n=\alpha$ y para $i<n$ $\alpha_i \in \mathbb M_2$ ser un subcampo de la $\mathbb M_2(\alpha)$ contiene $\beta$. Entonces, el polinomio mínimo de a $\alpha_n=\alpha$ $\mathbb Q(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$ tiene el grado $>1$, no es una potencia de $3$ $p(t)$ no toma raíces en $\mathbb Q(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})$. Me siento como que esto no debería ser posible, pero no estoy muy seguro. He pedido otra pregunta en relación con esta última poco ya que creo que podría conseguir más atención en su propio.

Answer 3

La elaboración de Hurkyl la idea, creo que he encontrado una prueba.

Deje ${\sf P}=(P_t)_{t\lt \alpha}$ ser bien ordenado de la familia de polinomios con coeficientes racionales, indexados por un ordinal $\alpha$ (para la aplicación que hacemos aquí, sólo estamos obligados a la necesidad de $\alpha$ finito o $\alpha=\omega$ ).

Si una familia ${\sf L}=(\lambda_t)_{t\lt \alpha}$ es tal que $\lambda_t$ es una raíz de $P_t$ por cada $t \lt \alpha$, yo diría que ese $\sf L$ es asociado con $\sf P$. También digo que el campo ${\mathbb Q}((\lambda_t)_{t\lt \alpha})$ es asociado con $\sf P$. Ahora, debo decir que el $\sf P$ es rígida si, para cualquiera $\beta \lt \alpha$, $P_{\beta}$ es irreducible sobre cualquier campo asociado con $(P_t)_{t \lt \beta}$. Claramente, tenemos :

Comentario 1. Si ${\sf L}=(\lambda_t)_{t\lt \alpha}$ ${\sf M}=(\mu_t)_{t\lt \alpha}$ y son dos familias diferentes asociados con un rígido familia $\sf P$ (con el mismo conjunto de índices $\alpha$), entonces existe un campo automorphism $\sigma$ $\mathbb C$ envío de $\sf L$ $\sf M$($\sigma(\lambda_t)=\mu_t$por cada $t$).

Corolario 1. Deje $\sf P$ ser un rígido de la familia, y deje $Q$ ser un polinomio en ${\mathbb Q}[X]$. Si $Q$ es irreducible sobre un campo asociado con $\sf P$, es irreducible sobre todos los campos asociados con $\sf P$.

Corolario 2. Deje $\sf P$ ser un rígido de la familia, y deje $Q\in {\mathbb Q}[X]$ ser un polinomio tal que $Q$ es irreducible sobre todos los campos asociados con $\sf P$, como en el corolario 1. Para un campo $\mathbb K$, considere la posibilidad de la propiedad : hay una raíz $\nu$ $Q$ tal que ${\mathbb K}(\nu)$ $3$- poderoso. Si esta propiedad tiene para un campo asociado con $\sf P$, para todos los campos asociados con $\sf P$.

Ahora, vamos a ${\cal B}=(B_n)_{n\geq 1}$ ser una enumeración de todos los no-constante de polinomios en ${\mathbb Q}[X]$ cuyo grado es una potencia de $3$. Imagina un principio caja vacía y considerar todas las $A_k$, en orden creciente, uno por uno. En cada paso, inserte $A_n$ en el cuadro de iff la nueva orden de la familia así obtenido es rígido, y cualquier campo asociado con es $3$-potente, como en el corolario 2.

Esta única que define a un infinito subsequence ${\cal B}'$$\cal B$. Entonces, por construcción, cualquier maximal $3$-potente campo está asociado con ${\cal B}'$, por lo que cualquiera de los dos 3-máxima de los campos son isomorfos por Observación 1.

Answer 4

Como ya señaló, existe un tal campo en que $X^2-2$ tiene una raíz y una en la que $X^3-2$ no tiene ninguna raíz...