Sospecho que sin(pi/25) no es expresable en formas elementales en los radicales porque es la raíz de algún grado (o más bien cos(pi/25)). ¿Nadie puede probar que ese grado no tiene solución en los radicales?
Sé que (de polinomios de chebyshev) si $$u=\cos{\frac{\pi}{25}}$ $ $$u\left(16u^4-20u^2+5\right)=\frac{\phi}{2}$$ where $\phi$ es la proporción áurea.
La respuesta a esta pregunta depende de exactamente lo que quieres decir por expresa en los radicales. En el sentido de que normalmente se entiende en la teoría de Galois cursos, $\cos \pi/25$ es expresable en radicales, pero en un mudo sentidos: $\cos (\pi/25) = \frac{1^{1/50}+1^{-1/50}}{2}$ para uno de los $50$-th raíces de $1$. Se puede argumentar que este es un inútil expresión, pero es una expresión de los radicales en el sentido de que se utiliza en Galois del resultado que un polinomio es solucionable en radicales si y sólo si su grupo de Galois es solucionable. (Y, de hecho, el grupo de Galois en este caso es abelian.)
También es soluble en radicales en un poco menos tonto sentido. Tenemos $e^{(\pi i)/5} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}} i$. Por lo tanto, si usted permite que los números complejos, entonces tenemos $e^{(\pi i)/25} = \sqrt[5]{\frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}} i}$ e lo $2 \cos(\pi/25) = \sqrt[5]{\frac{1 + \sqrt{5}}{4} + \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}} i} + \sqrt[5]{\frac{1 + \sqrt{5}}{4} - \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{8}} i}$. (Considero que esto es una menos tonto sentido, porque ahora el estándar de la rama de corte para $\sqrt[5]{z}$ hace el trabajo, en lugar de utilizar un altamente anormales $50$-ésima raíz de $1$.)
Sin embargo, tal vez usted no quiere permitir números complejos. En este caso, la respuesta es no. Isaacs se demuestra el siguiente resultado:
Supongamos que $f \in \mathbb{Q}[x]$ es un polinomio irreducible de todos cuyas raíces son reales. Si alguna de las raíces de $f$ son expresables por real radicales, a continuación, $\deg(f)$ es una potencia de $2$.
El minimial polinomio de $\cos (\pi/25)$ es $$f(x) = -1 - 10 x + 100 x^2 + 40 x^3 - 800 x^4 - 32 x^5 + 2240 x^6 - 2560 x^8 + 1024 x^{10}.$$ El grado de $f$ no es una potencia de $2$, y las raíces de $f$, es decir,$\cos (j \pi/25)$$j \in \{ 1,2,3,4,6,7,8,9,11,12 \}$, son todos los reales.
He aquí una expresión para $\xi$ en términos de los radicales, según Arce:
$$1/10\,\sqrt {20\, \left( -1/4-1/4\,\sqrt {5}-1/4\,\sqrt {-10+2\,\sqrt {5}} \right) \sqrt [5]{-{\frac {-3125\,i\sqrt {5}\sqrt {2}+12500\, \sqrt {5}\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}-1}}}+15625\,i\sqrt {2}- 25000\,\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}-1}}}}{2048\, \a la izquierda( \sqrt { 5}-1 \right) ^{2}\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}-1}}}}}}+50+20\,{ \frac { \left( -1/4-1/4\,\sqrt {5}+1/4\,\sqrt {-10+2\,\sqrt {5}} \right) \left( {\frac {25}{32}}+1/2\,{\frac {{\frac {3125}{32768}}-{ \frac {3125\,\sqrt {5}}{32768}}}{-{\frac {125\,\sqrt {5}}{2048}}+{ \frac {125}{2048}}}} \right) }{\sqrt [5]{-{\frac {-3125\,i\sqrt {5} \sqrt {2}+12500\,\sqrt {5}\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}-1}}}+ 15625\,i\sqrt {2}-25000\,\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}-1}}}}{ 2048\, \left( \sqrt {5}-1 \right) ^{2}\sqrt {{\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}-1}}}}}}}}} $$ Esto no se ve muy bien en una pequeña ventana... ¿alguien puede hacer que se vea más bonita? El crudo de Arce expresión es
(1/10)*sqrt((20*(-1/4-(1/4)*sqrt(5)-(1/4)*sqrt(-10+2*sqrt(5))))*(-(3125/2048)*(-I*sqrt(5)*sqrt(2)+4*sqrt(5)*sqrt(sqrt(5)/(sqrt(5)-1))+(5*I)*sqrt(2)-8*sqrt(sqrt(5)/(sqrt(5)-1)))/((sqrt(5)-1)^2*sqrt(sqrt(5)/(sqrt(5)-1))))^(1/5)+50+(20*(-1/4-(1/4)*sqrt(5)+(1/4)*sqrt(-10+2*sqrt(5))))*(25/32+(1/2)*(3125/32768-(3125/32768)*sqrt(5))/(-(125/2048)*sqrt(5)+125/2048))/(-(3125/2048)*(-I*sqrt(5)*sqrt(2)+4*sqrt(5)*sqrt(sqrt(5)/(sqrt(5)-1))+(5*I)*sqrt(2)-8*sqrt(sqrt(5)/(sqrt(5)-1)))/((sqrt(5)-1)^2*sqrt(sqrt(5)/(sqrt(5)-1))))^(1/5))
Requerimiento, respuesta de arce de R. Israel puede simplificarse. Esta expresión complicada,
$$u = -\frac{-3125\sqrt{-10}+12500\sqrt{5}\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}}+15625\sqrt{-2}-25000\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}}}{2048(\sqrt{5}-1)^2\sqrt{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}}}$$
es exactamente igual a,
$$u=\big(\tfrac{5}{4}\big)^5\,\Big(\tfrac{1-\sqrt{5}}{4}-\sqrt{\tfrac{5+\sqrt{5}}{8}}i\Big)$$
Por lo tanto, después de cierta simplificación, su respuesta se reduce a,
$$\sin\big(\tfrac{\pi}{25}\big) = \frac{1}{2}\sqrt{2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}} = 0.1253332\dots$$
donde,
$$a = \tfrac{-1-\sqrt{5}}{4}+\sqrt{\tfrac{5-\sqrt{5}}{8}}\,i$$
$$b = \left(\tfrac{1-\sqrt{5}}{4}-\sqrt{\tfrac{5+\sqrt{5}}{8}}\,i\right)^{1/5}$$
que debe ser lo suficientemente bonita.
Te sugiero para empezar a leer
http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_polygon
que aborda esta pregunta clásica.
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