Hexágono empaquetando en un círculo

Question

Supongamos que quiero empaquetar hexágonos en un círculo, como en el dibujo de abajo (el rojo indica hexágonos "empaquetados"). Me pregunto qué se sabe de este problema. Específicamente, estoy interesado en una aproximación a cuántos encajan (dado el radio del círculo y la longitud del lado del hexágono) y el error en dicha aproximación. ¿Alguna idea?

Answer 1

Intentemos modelar la red:

Tenemos seis direcciones de la base $$ u_k = (x_k, y_k) = d ( \cos k \pi /3, \sin k \pi /3) \quad (k \in \{0, \ldots ,5\}) $$ donde $d$ es el diámetro del incirculo de una célula hexagonal. Empezando por el origen $(0,0)$ cada célula puede ser alcanzada caminando a lo largo de una de las seis direcciones, por ejemplo. $$ u = u_2 + 2u_5 - u_1 + 7u_2 + 2 u3 + \cdots $$ Esto se reduce a los múltiplos enteros de dos direcciones, porque $u_3 =-u_0$ etc. y $u_2 = u_1-u_0$ : $$ u = c_0 u_0 + c_1 u_1 $$ para que podamos usar $(c_0,c_1)$ como coordenadas para cada célula.

Los vértices de la célula central son $$ v_k = D ( \cos (2k+1) \pi /6, \sin (2k+1) \pi /6) \quad (k \in \{0, \ldots ,5\}) $$ donde $D$ es el diámetro del círculo circunscrito. Se relaciona con $d$ vía: $$ D = \frac {2}{ \sqrt {3}} d $$

Podemos describir cada vértice a través de $(c_0,c_1,k)$ que no es inyectable.

Cada vértice dentro del círculo cumple $$ \lVert u + v_k \rVert \le R $$

Aquí hay una imagen en la que los círculos rojos (excepto el que está alrededor del centro) tienen un radio $r_c = (2k + 1) r$ .

Aquí los hexágonos fueron coloreados de la misma manera, cuando tienen el mismo círculo circunscrito (estos son los casos fáciles de calcular):

El número de círculos negros entre los círculos rojos aumenta con el incremento del radio. Esto se debe a que hay más posibilidades discretas de posicionar los hexágonos.

Así que es posiblemente una buena idea dejar que una máquina haga el conteo, parece que sólo se complica más, con el límite de la posibilidad de un radio continuo para grandes $r$ .

Por favor, tome los gráficos anteriores con un grano de sal: El gráfico sólido es $f(r) = \frac {A(r)}{A_H} = \frac { \pi r^2}{2 \sqrt {3}}$ que es el área del círculo circunscrito expresada en celdas hexagonales. Debido a los huecos en el borde, el número de hexágonos (puntos) es menor que este número ideal. Sin embargo, los puntos con el número de hexágonos para ese radio parecen demasiado bajos, necesito cazar el bicho y proporcionar una versión con números corregidos.

Answer 2

Publicar las estimaciones triviales para que podamos medir el progreso.

Supongamos que el lado del hexágono tiene longitud $1$ y que el radio del círculo es $r$ . El área de un solo hexágono es entonces $6 \cdot\sqrt3 /4=3 \sqrt3 /2$ . Deje que $N$ sea el número de hexágonos dentro del círculo. Su área total es menor que la del círculo, así que obtenemos la desigualdad $$ \frac {3 \sqrt3 N}2< \pi r^2. $$ Por otro lado, los hexágonos cubren el círculo concéntrico del radio $r-2$ completamente. Por lo tanto, tenemos otra desigualdad $$ \frac {3 \sqrt3 N}2> \pi (r-2)^2. $$ El punto medio da entonces la estimación aproximada de $$ N \approx\frac {2 \sqrt3\pi (r-1)^2}9 $$ junto con el límite del valor absoluto del error $$ | \Delta N|< \frac {4 \sqrt3\pi r}9. $$ El enlace de Chris Culter sugiere que puede ser posible obtener un término de orden erróneo $r^{2/3}$ . El problema que se considera allí es sobre el número de puntos de red, por lo que no es exactamente equivalente.