¿Qué significa que dos matrices sean ortogonales?

Question

En primer lugar, tenga en cuenta que no tengo muchos conocimientos sobre álgebra lineal. En segundo lugar, no estoy preguntando por algunas definiciones matemáticas, sino por una definición más física de este significado matemático.

Entonces, el problema es que puedo entender el significado de ortogonalidad entre dos vectores, son sólo "líneas" perpendiculares entre sí, pero no puedo percibir físicamente qué significa la ortogonalidad para las matrices .(como un $3\times 3$ uno). Es decir,si los vectores son como líneas en el espacio,que sean ortogonales es un concepto fácil de visualizar.Pero,¿cómo visualizar dos matrices ortogonales? Creo que esto es más fácil de explicar si primero me explicas cómo se ve una matriz en el espacio(visualización)(por ejemplo,para un 2x2,¿es el área que forman sus dos vectores contenidos en el espacio?Si es eso,entonces dos matrices ortogonales son simplemente esas dos áreas que son perpendiculares entre sí.Si no,dame una explicación análoga).

Answer 1

Aquí hay dos posibilidades:

1. Existe el concepto de matriz ortogonal. Nótese que se trata de una solo matriz, no sobre dos matrices. Una matriz ortogonal es una matriz real que describe una transformación que deja inalterados los productos escalares de los vectores. El término "matriz ortogonal" proviene probablemente del hecho de que tal transformación preserva la ortogonalidad de los vectores (pero nótese que esta propiedad no define completamente las transformaciones ortogonales; se necesita además que la longitud tampoco se modifique; es decir, una base ortonormal se mapea a otra base ortonormal). Otra razón para el nombre podría ser que las columnas de una matriz ortogonal forman una base ortonormal del espacio vectorial, y lo mismo ocurre con las filas; este hecho está realmente codificado en la relación definitoria $A^TA = AA^T = I$ donde $A^T$ es la transposición de la matriz (intercambio de filas y columnas) y $I$ es la matriz de identidad.

   Normalmente, si se habla de matrices ortogonales, esto es lo que se quiere decir.

2. En efecto, se pueden considerar las matrices como vectores; un $n\times n$ es entonces sólo un vector en un $n^2$ -espacio vectorial de dimensiones. En dicho espacio vectorial, se puede definir un producto escalar como en cualquier otro espacio vectorial. Resulta que para las matrices reales, el producto escalar estándar puede expresarse en la forma simple $$\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(AB^T)$$ y por lo tanto también se pueden definir dos matrices como ortogonales entre sí cuando $\langle A,B\rangle = 0$ como con cualquier otro espacio vectorial.

   Para imaginarlo, basta con olvidar que las matrices son matrices y considerar todas las entradas de la matriz como componentes de un vector. Los dos vectores son entonces ortogonales en el sentido habitual.

Answer 2

No es habitual decir que dos matrices son ortogonales entre sí, sino que se habla de que una matriz es ortogonal.

Formalmente, una matriz $A$ se llama ortogonal si $A^TA = AA^T = I$ . En otras palabras, las columnas de la matriz forman una colección de vectores ortogonales (y normados); si se toman dos columnas distintas son ortogonales como vectores. (También se pueden considerar las filas).

"Físicamente" una matriz ortogonal corresponde a una transformación lineal que preserva la distancia (como una rotación) del espacio.

Answer 3

$\newcommand{\Reals}{\mathbf{R}}$ Dejemos que $m$ y $n$ sean enteros positivos. El conjunto $\Reals^{m \times n}$ de todos los reales $m \times n$ matrices es "esencialmente" el espacio $\Reals^{mn}$ de todos los vectores reales con $mn$ componentes: Basta con poner las entradas de una matriz en una sola columna en un orden determinado. El producto punto ordinario en $\Reals^{mn}$ nos permite hablar de geometría euclidiana en el espacio de $m \times n$ matrices. En particular, podemos hablar de que dos matrices son "ortogonales" si su producto punto es cero.

Resulta que el producto punto de dos $m \times n$ matrices reales $A$ y $B$ tiene una fórmula sencilla, $\operatorname{tr}(A^{T}B)$ . (En palabras, multiplicar la transposición de $A$ por $B$ y luego sumar las entradas diagonales de la matriz cuadrada resultante).

Sin embargo, como dice quid, hay una definición completamente diferente de "ortogonal" como una propiedad de un solo $n \times n$ matriz que es "Si $u$ y $v$ son vectores en $\Reals^{n}$ entonces $u \cdot v = 0$ si y sólo si $Au \cdot Av = 0$ ." Esto resulta ser equivalente a "Multiplicación por $A$ conserva todos los conceptos de la geometría euclidiana", o "Las columnas de $A$ forman una base ortonormal de $\Reals^{n}$ ", entre otros.

Si alguien se acerca a ti y te dice: "Deja que $A$ y $B$ sean dos matrices ortogonales, ...", la interpretación de quid es probablemente lo que quieren decir. Pero si la vida depende de ello, acláralo con el preguntante. :)

Answer 4

Creo que este es el quid de su pregunta:

explique primero cómo se ve una matriz en el espacio(visualización)

Las matrices son más difíciles de visualizar que los vectores.

Esta es una forma de atacar el problema. En el contexto que te interesa, una matriz es realmente una forma de mover vectores en el plano - es una forma de representar una transformación lineal. (No voy a decir más ahora, ya que es posible que lo sepas. Si no lo sabes, puedo explicarlo mejor). El cuadrado unitario con esquinas $(0,0), (1,0), (0,1), (1,1)$ se desplaza siempre a un paralelogramo formado por dos vectores con sus colas en el origen. Ese paralelogramo es una forma de visualizar la matriz. Entonces la matriz es ortogonal cuando ese paralelogramo es un cuadrado unitario - los dos vectores de las aristas desde el origen son ortogonales (y también de longitud 1).

Answer 5

Me centraré en $n\times n$ matrices, ya que el $n\times m$ La generalización es bastante sencilla. Definir una matriz $$V=\begin{bmatrix} v_{11} & v_{12} & &... & & v_{1n} \\ v_{21} & v_{22} & & & & . \\ .& & . & & & .\\ . & & &. & &.\\ v_{n1} & . & . & .& . & v_{nn} \end{bmatrix}$$

A efectos de anotación, denotemos $v_{ab}=(\vec{v}_b)_a$ es decir, el $a$ -ésima componente del vector $\vec{v}_b$ . De esta manera podemos escribir $V$ como una matriz cuyas columnas son vectores $\vec{v}_1,\vec{v}_2,..,\vec{v}_n$ . Obsérvese que esto no cambia nada en la siguiente conclusión. La matriz se puede escribir entonces como $$V=\begin{bmatrix} (\vec{v}_1)_1 & (\vec{v}_2)_1 & &... & & (\vec{v}_n)_1 \\ (\vec{v}_1)_2 & (\vec{v}_2)_2 & & & & . \\ .& & . & & & .\\ (\vec{v}_1)_n & . & . & .& . & (\vec{v}_n)_n \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} . & . & .& .& .& .\\ . & . & . & . & . & . \\ \vec{v}_1& \vec{v}_2 & . & . & . & \vec{v}_n\\ . & . & . &. & . &.\\ .& . & . & . &. & . \end{bmatrix}$$ De esta manera, la computación $V^T V$ da: $$V^T V=\begin{bmatrix} . & . & \vec{v}_1^T& .& .& .\\ . & . & \vec{v}_2^T & . & . & . \\ .& . & . & . & . & .\\ . & . & . &. & . &.\\ . & . & \vec{v}_n^T & .& . &. \end{bmatrix} \begin{bmatrix} . & . & .& .& .& .\\ . & . & . & . & . & . \\ \vec{v}_1& \vec{v}_2 & . & . & . & \vec{v}_n\\ . & . & . &. & . &.\\ . & . & . & .& . &. \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} |\vec{v}_1|^2 & \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2 & .& . & \vec{v}_1\cdot\vec{v}_n\\ \vec{v}_1\cdot\vec{v}_2 & |\vec{v}_2|^2 & . & . & . \\ .& . & . & . & .\\ . & . & . & . &.\\ \vec{v}_1\cdot\vec{v}_n & . & .& . &|\vec{v}_n|^2 \end{bmatrix}$$ donde hemos definido $\vec{v}_i\cdot \vec{v}_j=\sum_a (\vec{v}_i)_a(\vec{v}_j)_a$ y se utiliza $\vec{v}_j\cdot\vec{v}_j=\vec{v}_j\cdot\vec{v}_i$ .

Ahora bien, si $V$ es una matriz ortogonal, es decir $V^T V=\mathbb{1}_{n\times n}$ significa que $$\vec{v}_i\cdot \vec{v}_j=\delta_{ij}$$ donde he definido $\delta_{ij}=1$ cuando $i=j$ y $\delta_{ij}=0$ cuando $i\neq j$ .

Conclusión: Un $n\times n$ La matriz ortogonal V es una matriz formada por columnas (o filas) que son vectores ortonormales, es decir, son vectores unitarios normales entre sí. Estos vectores pueden formar una base para un espacio vectorial de n dimensiones, ya que son linealmente independientes*. $$\boxed{V^TV=\mathbb{1}_{n\times n}\ \longleftrightarrow\ \vec{v}_i\cdot \vec{v}_j=\delta_{ij}}$$

Extra: el determinante de $V$ da el volumen orientado (en n dimensiones) de un hipercubo cuyos lados están formados por los vectores que son las filas o las columnas (ya que $\det{V}=\det{V^T}$ ) de $V$ .

*La independencia lineal se desprende del hecho de que tomando la det de ambos lados de $V^TV=\mathbb{1}_{n\times n}$ da $(\det{V})^2=1$ .