Método iterativo para la ecuación diferencial matricial

Question

Dejemos que $A$ y $X(t)$ sea $n\times n$ matrices. Quiero resolver la ecuación diferencial matricial $$\dfrac{dX}{dt}(t)=AX(t)$$ con $X(0)=I$ (el $n\times n$ matriz de identidad) utilizando la Proceso iterativo Picard .

Así que quiero $X_0(t)=I$ para todos $t\in\mathbb{R}$ y $$X_k(t)=I+\int_0^tAX_{k-1}(s)ds$$

Así que calculo $X_1(t)=I+\int_0^tAds=I+tA$ .

Iterando, tengo $X_2(t)=I+\int_0^tA(I+sA)ds=I+At+\dfrac{A^2t^2}{2}$ .

Iterando una vez más, tengo $X_3(t)=I+\int_0^tA(I+As+\dfrac{A^2s^2}{2})ds=I+At+\dfrac{A^2t^2}{2}+\dfrac{A^3t^3}{6}$

Entonces el límite será finalmente $X_\infty(t)=I+\sum_{k=1}^\infty\dfrac{(At)^k}{k!}$ .

Y parece ser una solución de la ecuación original. Sin embargo, ¿cómo sé que el método iterativo está garantizado en un caso como éste? ¿Existe algún teorema general para comprobarlo?

Answer 1

La solución de su ecuación diferencial es la matriz exponencial $$X(t)=e^{At} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(At)^k}{k!}$$ que debería converger siempre para cualquier $A$ ( Convergencia exponencial de la matriz ).