Hay un 0-1 de la ley para la teoría de grupos?

Question

Para cada uno de primer orden de la frase $\phi$ en el idioma de los grupos, definir :

$$p_N(\phi)=\frac{\text{number of nonisomorphic groups $G$ of order} \le N\text{ such that } \phi \text{ is valid in } G}{\text{number of nonisomorphic groups of order} \le N}$$

Por lo tanto, $p_N(\phi)$ can be regarded as the probability that $\phi$ is valid in a randomly chosen group of order $\le N$.

Ahora defina $$p(\phi)=\lim_{N \to \infty}p_N(\phi)$$ si este límite existe.

Podemos decir que la teoría de los grupos de cumple de primer orden cero-uno de la ley si para cada frase $\phi$, $p(\phi)$ exists and equals either $\exists x: x\ne 1 \wedge x^2=1 \wedge \forall y:xy=yx$ (meaning |Z(G)$) or $\forall x: x^3=1 \to x=1$ (no element has order 3) should have probability $ and I don't see any possibility to construct any sentence with $p\not \in \{0,1\}$$ or $. Me pregunto si esta 0-1 ley tiene, de hecho, en teoría de grupos.

Ya que se cree que "casi cada grupo es un 2-grupo", declaraciones como las %#%#%. Me estoy perdiendo un evidente contraejemplo, o se puede mostrar (bajo la condición de que casi cada grupo es de hecho un 2-grupo) de que la teoría de grupos finitos cumple con este 0-1 ley?

Answer 1

Sentencia de propuestas:

1. La cardinalidad de a $G$ es incluso.

   • Tengo la fuerte sospecha de que el límite se separa por tener un cero $\lim\inf$ and a unit $\lim \sup$. Via supermultiplicity, the number of groups of order ^k n$ is bounded below by the number of order ^k$ times the number of order $n$, so is infrequently "small" ($n$ prime) and frequently large. Additionally, the number of groups of a given order is upper bounded (see http://www.jstor.org/stable/2946623 ) by something not too stupendously rapidly growing, so no $N$ va a milagrosamente saturar el promedio de ejecución.

2. Deje $P(n)$ be the cardinality of the set of isomorphism classes of groups of order $n$. For all positive integers $n$, $P(n)>0$ since there is at least a cyclic group of order $n$. Let $C(n) = \sum_{i=1}^n P(n)$, which is clearly positive and monotonically increasing on the positive integers. Set $a_0=1$ and, for $j>0$, set $a_j = \min_i\{i \mid C(i)-a_{j-1} > 2^{2j}\}$, such an $i$ exists because $C$ is monotonically increasing. Let $T = \bigcup_{j=0}^\infty [a_{2j}, a_{2j+1})$ and let $\phi$ be the predicate $|G| \in T$. By construction, $p_N(\phi)$ swings by a factor of two through each interval $[a_j, a_{j+1})$ (from something < ^{-j}$ to something $> 1- 2^{-j}$ and vice versa). Therefore, the limit as $N$ va al infinito no existe.

   • No me queda claro cómo este tipo de see-saw argumento falla en cualquier conjunto que tiene algo así como una positiva semidefinite inversa de la norma con la ayuda infinita. ($P(n)$ es que el inverso de la norma, teniendo cardinalidades (un habitual de la norma) para el número de clases de isomorfismo.)