Generar coordenadas de ' N ' puntos de la circunferencia de una elipse con el espaciamiento más cercano vecino fijo

Question

Tengo una elipse con semimajor eje $A$ y semiminor eje $B$. Me gustaría recoger $N$ puntos a lo largo de la circunferencia de la elipse tal que la distancia Euclidiana entre dos vecino más cercano de puntos, $d$, es fijo. ¿Cómo puedo generar las coordenadas de estos puntos? Para qué rango de $A$ $B$ es esto posible?

Como una aclaración, todos vecino más cercano de pares debe ser de distancia fija $d$. Si uno llena la elipse añadiendo secuencialmente vecinos más cercanos, digamos, en el sentido de la moda, el primer y el último punto añadido debe tener un final de la distancia de $d$.

Answer 1

Mientras $d$ es lo suficientemente pequeño (donde "suficientemente pequeño" depende de la excentricidad de la elipse), se puede proceder de la siguiente manera:

Inicio en punto de $P_0$, y alrededor de la elipse en los pasos de (Euclidiana) de longitud $d$, dejando punto de $P_i$ a $i$th paso. Cuando llegue o pase al punto original $P_0$, dejar un punto de $P_n$ no, y parada.

Si $P_n$ $P_0$ coinciden, hemos terminado, de lo Contrario, disminuir el $d$ continuamente hasta que lo hagan. Ahora tenemos $n$ equidistantes de los puntos sobre la elipse. Y podemos repreat este procedimiento para encontrar $n+1$ puntos equidistantes, y así sucesivamente.

Hay dos cosas que pueden ir mal:

1. Este procedimiento funciona, pero la elipse es tan excéntrica que $P_{i-1}$ $P_{i+1}$ no son los vecinos más próximos de $P_i$ (porque hay más cerca del punto a través de la semi-eje menor).
2. Para algunos $i$, la posición de $P_i$ no es una función continua de la $d$. Esto puede suceder si $P_{i-1}$ está cerca de la 'punta' de la elipse, y la línea de $P_{i-1} P_i$ es normal a la elipse en $P_i$. Esto puede suceder si, más o menos, la curvatura de la elipse supera $\frac{1}{2d}$ en algún momento.

Answer 2

Para encontrar dichos puntos exactamente equivale a resolver un sistema de ecuaciones cuadráticas así o $2N$. Una manera práctica podría ser el siguiente: elegir los puntos de $$z_k:=\bigl(A\cos{2\pi k\over N}, B\sin{2\pi k\over N}\bigr)\quad(0\leq k\leq N)$$ $(z_0=z_N) $ as starting set and update the $% z_k $, $0 < k <$ N$, recursively in the following way: Each $z_k$ is replaced by the point $z_k'$ on the arc $(z_{k-1},z_{k+1})$ which is at equal distance from $z_{k-1}$ and $z_{k+1}$. This point can be found by solving a single quadratic equation. I conjecture that this procedure converges "linearly" to the unique solution of the problem with $z_0=(A,0).

Answer 3

Tal vez estoy interpretando mal su pregunta, creo que hay una manera muy simple de hacer esto. Dada la elipse, y dado $N$, tome $d$ muy pequeño en comparación con $A/N$, elegir un punto de la elipse, entonces va alrededor de la elipse de las agujas del reloj (dicen) los puntos de recogida tales que cada uno es a distancia $d$ a partir de la anterior. La localización de cada punto es una simple cuestión de encontrar la intersección con la elipse de un círculo de radio $d$ centrada en el punto anterior.

Si esto no es lo que usted desea, por favor aclarar tu pregunta.

Answer 4

Voy a suponer que $A$, $B$ y $N$ son dadas, y que el $d$ es desconocido.

Siempre hay una solución. Deje $L$ ser el perímetro de la elipse. Una evidente restricción es $N\,d<L$. Tome $d\in(0,L/N)$. Como se explicó en el Gerry Myerson la respuesta, elegir un punto de $P_1$ sobre la elipse y, a continuación, recoger los puntos de $P_2,\dots,P_N$ tal que $P_{i+1}$ es hacia la derecha de $P_i$ y la distancia euclidiana entre el$P_i$$P_{i+1}$$d$. Si $d$ es pequeña, $P_N$ va a ser corto de $P_1$, mientras que si $d$ es de gran tamaño, "paso a desnivel" $P_1$. En cualquier caso, la posición de $P_N$ es una función continua de $d$. Por la continuidad, habrá un valor de $d$ tal que $P_1=P_N$. También es claro que este valor es único.

Para encontrar $P_N$ para un determinado $d$ usted necesita para resolver $N-1$ ecuaciones cuadráticas. Para calcular el valor de $d$, puede utilizar la interseccion método.

Edit: TonyK las objeciones pueden ser atendidos si $N=2\,M$ es incluso. Tome $P_1=(A,0)$ y siga el procedimiento para encontrar los puntos de $P_2,\dots,P_{M+1}$ en la parte superior semiellipse tal que $P_{i+1}$ es hacia la derecha de $P_i$ y a distancia $d$, e $P_{M+1}=(-A,0)$. La solución buscada es $P_1,\dots,P_{M+1},\sigma(P_M),\dots,\sigma(P_2)$ donde $\sigma(P)$ es el punto simétrico de a $P$ con respecto al eje $y=0$.

Si $N=2\,M+1$ es extraño, yo creo que también hay una solución simétrica, pero tengo que pensar en ello.

Answer 5

Asumiendo que tiene un punto de partida a lo largo de la elipse, posición P, generar los puntos siguientes del candidato mediante la intersección de la elipse con un círculo de radio d, donde d es la distancia deseada entre puntos adyacentes

Luego escoger al candidato que es de la bobina deseada. Bobina se puede calcular considerando el vector desde el origen de la elipse a la posición P y el vector de posición P a la posición de candidato.