¿Es $(\mathbb{Z},+)$ un grupo resoluble?

Question

OK, grupos abelianos son solubles.

II.8.5 Thm de Hungerford dice un grupo es soluble FIB cuenta con una serie soluble. (El grupo puede ser finito o infinito).

Sin embargo, parece que no puedo encontrar que una serie soluble $\mathbb{Z}$, por ejemplo $\mathbb{Z},2\mathbb{Z},6\mathbb{Z},\ldots$ no terminará en el grupo de identidad.

Alguien dijo que $\mathbb{Z},\left\{0\right\}$ es una serie soluble $\mathbb{Z}$. Esto es una definición establece Hungerford ya $\mathbb{Z},\left\{0\right\}$ no es una serie de composición: $\mathbb{Z}/\left\{0\right\}$ no es un simple grupo.

Answer 1

Si bien no estoy familiarizado con el libro de Hungerford, imagino que define una serie soluble para ser una secuencia (finita) de subgrupos de $G$ tal que $$1=G_0\unlhd G_1\unlhd\cdots\unlhd G_n=G$$ where each $G_i/G_{i-1}$ sea abeliano: no es necesario que estos cocientes deben ser simples. En otras palabras una serie soluble no es necesariamente una serie de composición.

Para la serie alude a su último párrafo ($G_0={0}$ y $G_n=G_1=\mathbb{Z}$) hará el truco.

Answer 2

No necesita los coeficientes ser simple. Si los cocientes son simples han obtenido una serie de la composición del grupo. Un grupo soluble tiene un foro de la serie de composición es finito. Por lo tanto, en tu caso no ocurrirá.

No se debe confundir serie soluble con serie de composición.