¿En qué sentido es $S^\infty$ lo mismo que $\{x \in \ell_2 : \|x\| = 1 \}$ ?

Question

Oigo cosas que suenan como que los topólogos equiparan $S^\infty$ (definida como la unión o "colímite dirigido" de $n$ -) con la esfera unitaria real en, por ejemplo, un bonito espacio vectorial como $\ell_2$ . ¿En qué sentido es una afirmación rigurosa? ¿Son homeomórficos? ¿O es más débil?

Answer 1

Ambas son contractibles, y de hecho la inclusión $S^\infty \hookrightarrow S(\ell_2)$ es una equivalencia homotópica. Ahora bien, el valor principal de esto no es que ambos sean contractibles, sino que para la mayoría de las acciones de grupo naturales sobre estas esferas, este mapa es equitativo. (En particular, para $\Bbb Z/2$ , $S^1$ , $\Bbb Z/n \subset S^1$ , $S^3$ .) El mapa entre los espacios cotizados es también una equivalencia homotópica. El cociente a la izquierda da complejos CW que modelan $BG$ (respectivamente, $\Bbb{RP}^\infty$ , $\Bbb{CP}^\infty$ , los espacios de lentes infinitos $L(n) = \Bbb Z/n$ y $\Bbb{HP}^\infty$ ), y cotizando a la derecha se obtienen las variedades de Hilbert que modelan estos espacios. Los complejos CW son más útiles para los propósitos de algunas partes de la topología algebraica, como el cálculo de varias teorías de cohomología en estos espacios (la estructura CW te da una bonita secuencia espectral). Por otro lado, la estructura del colector de Hilbert es más útil para partes de la topología diferencial, incluida la teoría de Morse o cualquier cosa en la que se necesite la noción de suavidad. Así que ambos lados son útiles, pero como son naturalmente equivalentes en cuanto a la homotopía, cuando se hacen cosas invariables en cuanto a la homotopía no importa mucho qué lado se use.