¿Cuál es el valor de esto?

Question

Supongo que $f$ es un polinomio de grado $7$ que satisface $f(1) =2$, $f(2)=5$, $f(3)=10$, $f(4)=17$, $f(5)=26$, $f(6)=37$ y $f(7)=50$. ¿Cuál es el valor de $f(0)+f(8)$?

Answer 1

Los valores dados son los valores del Polinomio cuadrático $X^2+1$. Por lo tanto, tenemos a $f(X) - X^2 - 1$ un polinomio de grado $7$ % siete ceros $1,2,3,4,5,6,7$, entonces

$$f(X) = c\cdot\prod_{k=1}^7 (X-k) + X^2+1.$$

con un desconocido $c$ ($c\neq 0$ si el grado es exactamente $7$). Entonces tenemos

$$f(8) = c\cdot 7! + 65$$

y

$$f(0) = c\cdot(-1)^7 7! + 1,$$

donde $$f(0) + f(8) = 65 + 1 + c(7! - 7!) = 66.$ $

Answer 2

Nota que las diferencias entre los valores dados forman una secuencia aritmética: $$ +3,\ +5,\ +7,\ +9,\ +11,\ +13\,.$ $ así que, tenemos una fácil solución $f$, que $f(0)=1$ y $f(8)=65$.
(De todas formas $f(x)=x^2+1$.)

Tenga en cuenta que $7$ valores únicamente determinan un polinomio de grado $\le \bf 6$. Por lo tanto, es cualquier otro polinomio que cumple las condiciones de la forma $$f(x)= x^2-1\ + \ g(x)\cdot(x-1)(x-2)\dots(x-7)\,.$ $

Answer 3

Como se dijo, esto era un problema que plantea en brillante. La siguiente es la solución, redactada por el miembro en brillante que planteaba este problema.

Answer 4

Observe que el polinomio $f$ no se definirán únicamente, pero será $f(0)+f(8)$. De hecho, dado dos polinomios posibles, ¿cómo se diferencian?

Answer 5

Hay un enfoque directo se puede utilizar para recuperar un polinomio a partir de sus diferencias. Vamos a usar un polinomio de grado a lo sumo 3 a demostrar.

Un polinomio es determinada por 4 valores. Supongamos que tenemos los valores consecutivos

• $f(0) = 1$
• $f(1) = 2$
• $f(2) = 4$
• $f(3) = 9$

Entonces podemos hacer un diagrama de las diferencias

$$ \begin{matrix} \\ & & & 0 \\ & & 2 & & 2 \\ & 1 & & 3 & & 5 \\ 1 & & 2 & & 4 & & 9 \end{de la matriz} $$

Porque sabemos que el polinomio es de grado en la mayoría de las $3$, lo que significa que si ampliamos este diagrama a la izquierda y a la derecha, en la fila superior será constante: en este caso será el $0$ en todas partes.

Esto en realidad significa que la segunda fila será constante, esto significa que el polinomio es en realidad cuadrática.

Podríamos trabajar para recuperar la $f$ -- por ejemplo, con un Newton de la serie. Pero si queremos que el $f(4)$, hay un método sencillo: basta calcular el siguiente diagonal en la imagen:

$$ \begin{matrix} \\ & & & 0 & & 0 \\ & & 2 & & 2 & & 2 \\ & 1 & & 3 & & 5 & & 7 \\ 1 & & 2 & & 4 & & 9 & & 16 \end{de la matriz} $$

y por lo $f(4) = 16$.

El problema original debe ser factible con una técnica similar. Sin embargo, usted debe hacer algo apropiado para explicar el hecho de que sólo tienen un explícito valor decimal para $7$ términos, en lugar de $8$!