Cómo probar que $4^{2n}-1$ es divisible por $3$ o $5$

Question

Mi tarea es demostrar que

$4^{2n}-1$

es divisible por $3$ o $5$,$n=1,2,3,...$. Cualquier sugerencias? ¿Cuál es la clave de la observación? Gracias :)

Answer 1

tenemos $4^{2n}=16^n\equiv 1^n=1 \mod 3$ y de forma análoga $16^n\equiv 1\mod 5$

Answer 2

El teorema del binomio nos da:

$\quad 4^{2n} = (3+1)^{2n} = 3a+1$

$\quad 4^{2n} = (5-1)^{2n} = 5b+1$

a partir de la cual el resultado de la siguiente manera.

Answer 3

El argumento de la aritmética modular es excelente. Otro método es considerar que

$$\frac {x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+\dots+1$$

lo que muestra que $4^2-1\mid 4^{2n}-1$, e $4^2-1=15$, por lo que estamos por hacer.

Answer 4

He aquí una prueba más de que, sólo por diversión. Es, por supuesto, no es "totalmente diferente", pero es, al menos, una variación en las formas de acercarse a tal proposición.

Vamos a tratar de inducción matemática para demostrar la divisibilidad por $3$.

El caso Base. Al $n = 1$, nos encontramos con que $4^{2n} - 1 = 4^2 - 1 = 16 - 1 = 15$, el cual es divisible por $3$.

Inductivo hipótesis. Supongamos $4^{2k} - 1$ es divisible por $3$.

Forja en adelante. ¿Qué acerca de la $4^{2k + 1} - 1$?

Tenga en cuenta que $4^{2k+1} - 1 = 4 \cdot 4^{2k} - 1$; ahora podemos romperlo para mostrar la divisibilidad por $3$.

$4\cdot 4^{2k} - 1 = 3\cdot4^{2k} + (4^{2k} - 1)$, mientras que en el primer sumando es claramente divisible por $3$, y el paréntesis sumando es divisible por $3$ utilizando nuestra hipótesis inductiva; de modo que su suma es divisible por $3$.

Esto completa la prueba de divisibilidad por $3$ para todos los $n \in \mathbb{N}$. $\square$

Pero usted quería divisibilidad por $5$, demasiado.

Nota:$4^{2n} - 1 = (4^2)^n - 1 = 16^n - 1$; ningún poder de $16$ $6$ por su dígito de las unidades, por lo que restando $1$ deja un $5$ para el dígito de las unidades, por lo tanto, un número entero divisible por $5$.

Ahora hemos demostrado divisibilidad por $3$$5$, como se desee. QED