OK, vamos a ir a través de este paso-por-paso usando la notación de configurar en su primer diagrama.
Tenemos dos functors $F$$G$$\mathbf{C}$$\mathbf{D}$. Definimos un functor $F\times G$ tal que $(F\times G)(C) = F(C) \times G(C)$. Vale la pena señalar cómo este functor opera en flechas: dado $f\colon C\to D$, obtenemos flechas $F(f)\colon F(C)\to F(D)$$G(f)\colon G(C)\to G(D)$, por lo que podemos definir $(F\times G)(f)$ a de ser la única flecha $F(C)\times G(C)\to F(D)\times G(D)$ (flechas en un producto se determina por sus composiciones con las proyecciones) tal que $$p_1^{F(D)\times G(D)}\circ (F\times G)(f) = F(f)\circ p_1^{F(C)\times G(C)} \text{ and } p_2^{F(D)\times G(D)}\circ (F\times G)(f) = G(f)\circ p_2^{F(C)\times G(C)}.$$
Estas ecuaciones muestran que tenemos dos naturales transformaciones $p_1\colon (F\times G) \to F$ $p_2\colon (F\times G) \to G$ donde $(p_1)_C$ es la proyección de la $F(C)\times G(C)\to F(C)$ y de manera similar para $p_2$. Nos gustaría mostrar que estos datos hace que $F\times G$ el producto de $F$ $D$ en el functor categoría.
Así que nos tomamos otro functor $Z$ y natural dado transformaciones $z_1\colon Z\to F$$z_2\colon Z\to G$. Para cada objeto $C$, obtenemos una flecha $h_C\colon Z(C)\to F(C)\times G(C)$ que es la única flecha tal que $(p_1)_C\circ h_C = (z_1)_C$$(p_2)_C\circ h_C = (z_2)_C$. Tenemos que mostrar que el $h_C$ cohesionar a una transformación natural.
Es decir, para cada mapa $f\colon C\to D$, debemos mostrar que $h_D\circ Z(f) = (F\times G)(f)\circ h_C$. Estos son los mapas de $Z(C)\to F(D)\times G(D)$, por lo que por el universal, la propiedad del producto, es suficiente para mostrar $$(p_1)_D\circ h_D\circ Z(f) = (p_1)_D\circ (F\times G)(f)\circ h_C \text{ and } (p_2)_D\circ h_D\circ Z(f) = (p_2)_D\circ (F\times G)(f)\circ h_C.$$
Ahora la respuesta a tu pregunta. Sólo tendremos que hacer la $p_1$ de los casos, puesto que el $p_2$ caso es exactamente el mismo.
$(p_1)_D\circ h_D\circ Z(f) = (z_1)_D \circ Z(f)$. Este es, por definición, de $h_D$ ($(p_1)_D\circ h_D = (z_1)_D$).
$(z_1)_D \circ Z(f) = F(f)\circ (z_1)_C$. Esto es lo que significa para $z_1$ a ser una transformación natural.
$F(f)\circ (z_1)_C = F(f) \circ (p_1)_C\circ h_C$. De nuevo, desde el $(p_1)_C\circ h_C = (z_1)_C$.
$F(f) \circ (p_1)_C\circ h_C = (p_1)_D\circ (F\times G)(f) \circ h_C$. Esto es por connaturalidad de $p_1$ o, de manera equivalente, las ecuaciones anteriores la definición de la acción de la $F\times G$ de flechas.
Y ya está! Awodey persigue a través de la cadena de igualdades en el orden inverso y con la notación diferente, pero los pasos son exactamente los mismos.
Usted puede visualizar lo que está pasando en el diagrama por el apilamiento de dos copias de su diagrama triangular en la parte superior de uno al otro, uno con $C$s y uno con $D$s, y conectar el diagrama superior a la de abajo con las flechas $Z(f)$, $F(f)$, $G(f)$, y $F(f)\times G(f)$. A continuación, tenemos que comprobar que la central vertical de la plaza de desplazamientos, y hacemos esto usando conmutatividad de la todas las plazas verticales en las "alas".
