Para los propósitos de enseñanza me gustaría encontrar entero matrices con un particular Jordania. ¿Hay algún tipo de técnica para encontrar niza ejemplos? Por ejemplo, para $$\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}.$$
Respuestas
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Como J. M., señaló en su comentario, para todos los Jordan en la forma $J$ y unimodular de la matriz $U$, la matriz producto $UJU^{-1}$ va a hacer. En particular, usted puede obtener la suficiente variedades mediante la construcción de $P$ a partir de una matriz de Pascal. Por ejemplo, el triangular superior de orden 3 Pascal matriz es $$ P=\begin{pmatrix}1&1&1\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}. $$ Usted puede tomar $U$ como cualquier producto de $P,\ P^T,\ P^{-1},\ (P^T)^{-1}$, diagonal de las matrices con las entradas de la diagonal $=\pm1$ y permutación de matrices. Para ilustrar esto, vamos a $J$ ser el Jordan en la forma en que su ejemplo. Entonces $$ \begin{eqnarray} &&U=PP^TP \Rightarrow UJU^{-1} =\begin{pmatrix}-8&24&-45\\-9&25&-45\\-3&8&-14\end{pmatrix},\\ &&U=P^2\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&0&1\\-1&0&0\end{pmatrix}(P^T)^{-1} \Rightarrow UJU^{-1} =\begin{pmatrix}2&-2&5\\3&-5&15\\1&-2&6\end{pmatrix}. \end{eqnarray} $$ Usted puede generar una gran cantidad de matrices de enteros con idéntico Jordan en la forma, pero muy diferentes apariciones en el uso de este método.
user8269
Puntos
46
Vamos en lugar de ir a por $$\pmatrix{0&1&0\cr0&0&0\cr0&0&0\cr}$$, a Continuación, podemos agregar la matriz de identidad y obtener lo que usted pidió.
Por lo tanto, estamos buscando un entero matriz de rango 1 con el cero como un triple autovalor. Rango 1 significa $$\pmatrix{ar&br&cr\cr as&bs&cs\cr at&bt&ct\cr}$$ as each row must be a multiple of each other row. Add the condition $ar+bs+ct=0$ y creo que estamos allí.
Por ejemplo,$a=1,r=2,b=3,s=4,c=2,d=-7$, y recordando a agregar en la identidad, al final, tenemos el ejemplo, $$\pmatrix{\phantom{-}3&\phantom{-}6&\phantom{-}4\cr\phantom{-}4&\phantom{-}13&\phantom{-}8\cr-7&-21&-13\cr}$$
