Acerca de G-Conjuntos (o grupo de acciones).

Question

He estado estudiando teoría de grupo durante dos meses, y ahora estamos en "Acciones en un grupo G". La definición que nos dieron era este:

Definición (Grupo de acción): Vamos a $G$ ser un grupo. Deje $X$ ser un conjunto. Decimos que $G$ actúa sobre el conjunto de $X$ si existe un mapa \begin{equation} G \times X \to X\\ (g,x)\to gx, \end{equation} de tal forma que:

($i$) $ex=x$, $\forall x \in X$

($ii$) $g(hx)=(gh)x$, $\forall g,h\in G, \forall x \in X$.

Traté de entender intuitivamente todo acerca de la teoría de grupo, pero no soy capaz de entender esto. ¿Por qué el grupo de acciones son importantes? Hay una forma intuitiva de entender?

Gracias.

Answer 1

Algunos ejemplos de acciones del grupo:

$S_n$, el grupo simétrico de a $n$ cartas, naturalmente actúa sobre el conjunto de $[n] = \{1, \ldots, n\}$. Por ejemplo, dada $\sigma = (1 3 2) \in S_4$, tenemos

\begin{align*} \sigma(1) &= 3 \\ \sigma(2) &= 1 \\ \sigma(3) &= 2 \\ \sigma(4) &= 4. \end{align*}

Esta es probablemente una de las primeras acciones del grupo que ha aprendido, que muy probablemente antes de siquiera había escuchado el término grupo de acción.

Otro ejemplo: El grupo diedro grupo $D_{2n}$ actúa en la regular $n$-gon. Aquí están todas las formas de $D_6$ actúa sobre un triángulo regular (descaradamente tomado de estesitio web):

Por lo tanto, cuando la gente dice que la teoría de grupos es una forma de estudio de las simetrías de un objeto, de que realmente estamos hablando de encontrar un grupo adecuado para actuar sobre el objeto.

Dado un grupo de $G$ y una acción de $G$ sobre un objeto $X$, podemos definir el estabilizador de $x \in X$$\text{Stab}_G(x) = \{g \in G : gx = x\}$. Todos estos son el grupo de elementos que se fijan a un determinado $x \in X$. En el ejemplo de $D_6$ por encima, cada vértice del triángulo se fija por exactamente dos elementos de la $D_6$, la identidad de $D_6$, y una reflexión.

En una vena similar, también podemos definir la órbita de un elemento $x \in X$$\text{Orb}_G(x) = \{gx : g \in G\}$. Estas son todas las cosas diferentes en $X$ que un determinado $x$ podría conseguir asignan a, cuando dejamos que cada elemento del grupo de $g \in G$ obtener un turno.

Pero espere, aún hay más! Te acuerdas de la conjugación, la derecha? Dado un grupo de $G$ y dos elementos de $g, x \in G$ podemos conjugar $x$$g$, para obtener el elemento $x^g = g^{-1}xg$. Usted puede demostrar que un grupo actúa sobre sí mismo, a través de la conjugación. Esta conjugación de acción es extremadamente importante!

En virtud de la conjugación de la acción de $G$ sobre sí mismo, dado un fijo $x \in G$, ¿cuál es la órbita $\text{Orb}_G(x)$? Desembalaje de la definición, $\text{Orb}_G(x) =\{g^{-1}xg: g \in G\}$ no es nada más que la clase conjugacy de $x$! ¿Cuál es el estabilizador? $\text{Stab}_G(x) = \{g \in G: g^{-1}xg = x\}$ donde $g^{-1}xg = x$ si y sólo si $xg = gx$. Por lo tanto, el estabilizador de la $x$ no es nada más que el centralizador de $x$; todo lo que conmutan con a $x$!

No es difícil ver que podemos extender la conjugación de la acción de $G$ sobre sí mismo para dejar que $G$ actúan en el conjunto de todos los subgrupos de $G$. En este caso, el normal subgrupos de $G$ son, precisamente, los subgrupos con un trivial de la órbita. Más generalmente, el estabilizador de un subgrupo de $H$ es el normalizador de la $H$.

Por lo tanto, no sólo son un grupo de medidas que la principal razón práctica nadie más que de grupo de teóricos de aprender acerca de los grupos (porque un grupo que no está actuando en nada de lo que razonablemente podría ser llamado aburrido), pero también pueden unificar mucho puramente grupo de la teoría de la ideas y de las construcciones.

Answer 2

A veces no necesitamos a los objetivos externos o aplicaciones para motivarnos a estudiar algo; podría encontrar algo interesante en sí mismo. Muchos nonmathematicians sentiría de esa manera acerca de la mayoría de la matemática pura, especialmente las cosas que no tienen ningún conocido en el mundo real los usos, es esta cosa para los matemáticos.

Pero sería incorrecto pensar que todo lo que se puede decir acerca de las acciones del grupo. De hecho, si uno piensa en la teoría de grupos es de por sí interesante, entonces uno debe sentir del mismo modo acerca de las acciones del grupo, ya que las acciones son en cierta medida el punto de los grupos. Grupos grupo de acciones como la energía potencial es energía cinética. Un grupo por sí mismo es sólo un montón de (potencialmente sin nombre) cosas que se pueden componer juntos y de forma invertida, con la misma mecánica como un conjunto de funciones y acciones son las que esas cosas hacen a otras cosas. Las acciones son la forma abstracta estructura algebraica de un grupo codifica la noción de simetría para empezar (aunque es en esta perspectiva que me hizo sentir que infiel representaciones fueron extraño y contradictorio - si no son fieles, ¿en qué sentido son "representante", según el lenguaje coloquial en la comprensión de la palabra?).

Históricamente los grupos (antes tenía ese nombre) se concibe como una permutación de grupos, que son grupos de funciones, en el contexto de symetries de raíces de polinomios. Es sólo después de que la noción fue formalmente abstrae en una estructura algebraica que no hizo la definición de referencias a funciones. El teorema de Cayley trae las acciones de vuelta a la imagen en un sentido, ya que dice que cualquier grupo puede ser visto como una permutación de grupo, pero objetos diferentes pueden tener la misma simetría de los grupos, así que tiene sentido para permitir un resumen de grupo para actuar en diferentes cosas y no necesariamente de la definición de diferentes isomorfo concreto grupos por dondequiera que se podría manifestar. De esta manera se puede comparar la simetría de objetos diferentes, y también podemos hablar de la inducida por acciones (cuando la acción de un grupo sobre un objeto, naturalmente, conduce a una acción de la misma en algún tipo de objeto que se construye/derivados de, o de otra manera relacionada con el primero).

Hay muchos naturales tipos de acciones del grupo, por lo general, donde las acciones son las simetrías que, en cierto sentido, de preservar la estructura o características del objeto que se va a actuar. En la teoría de Galois de estudiar las acciones que preservan la verdad de todos (polinomio) las ecuaciones, para lo cual es suficiente para un mapa para que simplemente preservar la adición y la multiplicación. Así, grupos de Galois son las simetrías de los sistemas de numeración. Teoría de la representación investiga grupos que actúan por transformaciones lineales sobre espacios vectoriales. Unitario de representaciones irreducibles son un no conmutativa la generalización de la pura armónicos visto en el análisis de Fourier, y también están vinculados a la idea de "elementary los estados" en la mecánica cuántica. Topológico de los grupos actúan continuamente sobre espacios topológicos y las geometrías de hecho Klein Erlangen programa trató de clasificar las geometrías por su simetría. Uno también puede ver el grupo de acciones por ejemplo, en la teoría de cubrir espacios con monodromy acciones. Otra aplicación que me sorprendió es mi lectura que la de Banach-Tarski paradoja es fuertemente un hecho acerca de las acciones!

No es algo aislado de la aplicación de acciones del grupo a la combinatoria: contar cosas modulo de simetría. Esto es donde las cosas como la Órbita-Estabilizador teorema o Burnside del Lexema o el total de Polya la enumeración teorema entran en juego. (En mi opinión Polya enumeración conduce naturalmente a la teoría de la combinatoria de las especies.) Por lo que entiendo que esto tiene aplicaciones en el mundo real de la química en el análisis de las moléculas, pero no tengo familiaridad con el tema.

Como con muchas cosas en matemáticas, incluso si el interés o significado intuitivo de algo que es difícil de articular de manera integral y transferencia de una experiencia de la mente a otra mente empezando a familiarizarse con algo, el tiempo y la exposición puede conducir al desarrollo de una apreciación que no pueden comunicarse de manera eficaz en la demanda en palabras. Así, hacer un esfuerzo para entender lo que es un grupo de acción es, pero más allá de que podría venir con el tiempo.

Answer 3

Vamos a examinar algunas de las características de un grupo de acción que no son inmediatamente evidentes:

1) El mapa de $x \mapsto g\cdot x$ es un bijection $X \to X$.

Prueba: Supongamos $g\cdot x = g\cdot y$. A continuación,$g^{-1}\cdot(g\cdot x) = g^{-1}\cdot(g\cdot y)$,

(ii) tenemos:

$e\cdot x = (g^{-1}g)\cdot x = g^{-1}\cdot(g\cdot x) = g^{-1}\cdot(g\cdot y) = (g^{-1}g)\cdot y = e\cdot y$

y por (i) tenemos:

$x = e\cdot x = e\cdot y = y$, por lo que nuestra asignación es inyectiva.

Dado cualquier $x \in X$, vamos a $y = g^{-1}\cdot x$. Entonces:

$g\cdot y = g\cdot(g^{-1}\cdot x) = (gg^{-1})\cdot x = e\cdot x = x$, por lo que nuestro mapa es surjective.

Si llamamos a la mapa $x \mapsto g\cdot x$, algo como $\phi_g$, tenemos un mapeo:

$G \to \text{Sym}(X)$ $g \mapsto \phi_g$ $G$ para el grupo de bijections en $X$.

2) El mapa de $\phi:G \to \text{Sym}(X)$ $\phi(g) = \phi_g$ es un grupo homomorphism.

Lo que tenemos que demostrar aquí, es que el $\phi(gh) = \phi_{gh} = \phi_g \circ \phi_h = \phi(g)\phi(h)$. Hacemos esto con las pruebas en cada uno de los elementos $x \in X$.

$\phi_{gh}(x) = (gh)\cdot x = g\cdot(h\cdot x) = g\cdot(\phi_h(x)) = \phi_g(\phi_h(x)) = (\phi_g \circ \phi_h)(x)$

3) Cada grupo de acción surge de esta manera. Supongamos que tenemos un grupo de homomorphism:

$\psi: G \to \text{Sym}(X)$. Convencerse de que $g\cdot x = \psi(g)(x)$ define un grupo de acción, y que la realización de los pasos de (2) por encima de los rendimientos del mismo grupo homomorphism que hemos empezado.

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Ahora veamos un ejemplo: imaginemos un cuadrado en el plano, centrado en el origen. Sabemos que tenemos un grupo (que podríamos modelo con $2\times2$ matrices) de la orden $8$, las "simetrías del cuadrado". Normalmente, tomamos:

$r = \begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}$

$s = \begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$

y obtener $D_4 = \{e,r,r^2,r^3,s,rs,r^2s,r^3s\}$

Podemos dejar que la $D_4$ actúan en el conjunto de las "cuatro esquinas", que da la siguiente subgrupo de $S_4$:

$e \mapsto (1)$

$r \mapsto (1\ 2\ 3\ 4)$

$r^2 \mapsto (1\ 3)(2\ 4)$

$r^3 \mapsto (1\ 4\ 3\ 2)$

$s \mapsto (1\ 4)(2\ 3)$

$rs \mapsto (2\ 4)$

$r^2s = (1\ 2)(3\ 4)$

$r^3s = (1\ 3)$

Nos volvimos a nuestro grupo de $8$ matrices en una mezcla de las $4$ esquinas. No conseguimos a "todos" arrastrando los pies, porque algunos de los re-arreglos produciría un "bow-tie", y no un cuadrado. ¿Qué pasa si en lugar de considerar el conjunto de $4$ bordes, o el conjunto de $2$ de las diagonales?

Answer 4

Un grupo de acción es realmente sólo una ligera generalización de un grupo de permutación. Una definición equivalente que ilustra esto es la siguiente:

Definición Deje $G$ ser un grupo. Deje $X$ ser un conjunto. A continuación, una acción de $G$ $X$ es homomorphism $\phi : G \rightarrow \mathrm{Sym}(X)$

En su nota, tenemos $g x = \phi(g)(x)$ todos los $g \in G$$x \in X$.

Answer 5

Deje $\text{Perm}(X)$ ser la permutación grupo de $X$, entonces el grupo de acción es un homomorphism $\pi:G\to\text{Perm}(X)$. Ahora, $(\pi(g))(x)$ puede ser escrito como $gx$.

Por las propiedades de la homomorphisms, $ex=(\pi(e))(x)=\text{id}_X(x)=x$, y $ghx=(\pi(gh))(x)=(\pi(g)\circ\pi(h))(x)=g(\pi(h)(x))=g(hx)$.

No estoy seguro de si eso ayuda, pero se me hizo sentido de las acciones del grupo.