La resolución de una simple relación de recurrencia

Question

Tengo la siguiente relación de recurrencia:

$a_0=1$

$a_{n}=pa_{n+1}+qa_{n-1}$

Donde $p+q=1$. Esta relación surge en el análisis de un "jugador de la ruina" de la situación.

Se afirma que la solución general es $A+B(q/p)^i$ pero no veo por qué (tratando el método habitual de la solución de la ecuación característica no parece funcionar para mí).

También, y esto es tal vez incluso más interesante para mí - ¿cuál es la solución si la relación es finito, es decir, si tenemos $a_{k}=a_{k-1}$ algunos $k$ y en adelante?

Answer 1

La ecuación característica es

$$x = px^2 + q$$

que de hecho tiene raíces $1$$\dfrac{q}{p}$.

Si tenemos $a_k = a_{k-1}$ formulario de cierto punto en adelante, luego de aplicar la fórmula a los términos antes de que el punto de inflexión y recoger el último plazo para que la fórmula se aplica para el resto.