Ayer hablé con un amigo acerca de un problema en el que la solución sería un ángulo de $2$ radianes (sobre $114.6°$). Entonces de alguna manera surgió la cuestión de si un ángulo sería edificable (con regla y compás), y parece que no, pero yo no había de repente una idea acerca de cómo probar cualquier manera.
La "facilidad" edificable ángulos (por ejemplo, aquellos para los cuales me gustaría saber cómo construir sin pensar mucho) son algunos racional múltiplos de $\pi$: sabemos que podemos mitad de cada uno de los ángulos, y también construir las sumas y diferencias de ángulos, y hemos ángulos de $\frac\pi3$ $\frac\pi2$ a empezar. (Luego hay algunos más de algunos edificable polígonos regulares).
Esto es suficiente para aproximar cualquier ángulo, pero en realidad no ayuda a construir racional alguno (o incluso algebraicas) ángulos (con la excepción de la trivial ángulo de $0$), ya que la aproximación no es una operación válida en la construcción de la geometría.
[...] Los ángulos que son construibles de formar un grupo abelian bajo además modulo $2\pi$ ([...]). Los ángulos que son construibles son exactamente aquellos cuya tangente (o, equivalentemente, seno o coseno) es edificable como un número. [...]
Parece que no saben lo suficiente acerca de estas funciones a utilizar esta información.
La única ángulos de finito de orden que puede ser construido a partir de con dos puntos son aquellos cuyo orden es una potencia de dos, o un producto de una potencia de dos y un conjunto de distintos números primos de Fermat.
Bueno, estos son los mencionados racional múltiplos de $\pi$.
Además hay un denso conjunto de construibles ángulos de orden infinito.
Todos racional de los ángulos son ángulos de infinito, por lo tanto, si sería edificable, sería en esta categoría. Y por supuesto, si teníamos racional ángulo, podríamos conseguir un buen montón de otros de reducir a la mitad, y la adición.
Mi pregunta: ¿hay alguna racional ángulo de $\alpha \in \mathbb Q \setminus\{0\}$ que es edificable, o es que hay una prueba de que no hay tal ángulo que existe?
Si no hay racional, tal vez cualquier algebraicas?
