Cómo calcular el punto de partida para este Mandelbrot?

Question

Mi respuesta para otro de matemáticas stackexchange pregunta, le preguntó por Gottfried, involucrados en la observación de Mandelbrot bifurcación de la iterada de la función en cuestión, $f(z)\mapsto z-\log_b(z)$. En particular, para cada base, hay una bien definida Julia, y si $\Re(z)<-1$, entonces podemos decir que la recorre de f(z) ser arbitrariamente grande negativo. Para otros puntos observamos f(z) se recorre hacia un establo atraer cíclico de la órbita. La primera bifurcación que se produce en $b=\exp(0.5)$. Para $\Re(b)>\exp(0.5)$, z=1 es una atracción de punto fijo, y para De $\Re(b)<\exp(0.5)$, z=1 es un repelente de punto fijo.

Luego me preguntó si Mandelbrot trama podría ser generada como la logarítmica de base de b varía. Llegué tan lejos como la generación de un Mandelbrot parcela de escape número de iteraciones, la iteración de f(z), pero estoy teniendo serias dificultades. Todavía estoy perplejo en cuanto a la correcta algoritmo para generar estos Mandelbrots, porque el necesario punto de partida parece ser una función de b, la base logarítmica. Existe un algoritmo para calcular un buen punto de partida para recorrer el conjunto Mandelbrot $f(z)\mapsto z-\log_b(z)$, de tal manera que el punto de partida está garantizado para estar en el cíclica de la atracción de la cuenca de b, si la base(b) tiene una atracción de ciclo?

Para el normal Mandelbrot, $f(z)\mapsto z^2+c$, el punto de partida utilizado para cada valor de "c" es de z=0, que es el centro de la correspondiente Julia para c. El exterior de la Julia se pueden poner en correspondencia con un Botcher función de z^2, para $|z|>1$. Pregunta extra: ¿existe una correspondiente Botcher función para Julias por Gottfried f(z) la función, y puede que estos Julias ser puesto en correspondencia con la de Julia para el conjunto de Mandelbrot? Gottfried Julia no son simétricos, y en realidad tienen infinitamente grandes puntos positivos que recorrer en el establo la atracción de la cuenca.

Por ejemplo, hay fallas en este Mandelbrot parcela, donde algunos de los puntos que son de color realmente pertenecen a un cíclico de la cuenca, y en su lugar debe ser de color negro ya que el ciclo de la cuenca nunca se escapa. Aquí, empecé a recorrer con z=2.6, que es aceptar un punto de partida para esta parcela, pero no es perfecto. Traté de otras parcelas, donde puedo usar varios puntos de partida, que es un poco mejor, pero lejos de ser ideal. Esta parcela varía de b=1.425 a b=1.725 con las líneas de la cuadrícula de 1/10.

Answer 1

Como se señaló por Sheldon, el buen punto de partida debe ser un punto crítico. De hecho, hay un teorema que dice que si tienes una atracción de ciclo, al menos un punto crítico que debe pertenecer a su atracción de la cuenca.

A grandes rasgos, la idea de la prueba es como sigue : en torno a una atracción de punto fijo, hay un alineando coordinar $\phi$ tal que $f(\phi(z))=\lambda \phi(z)$. Que de coordenadas se define sólo en un barrio de la atracción de punto fijo, sin embargo el uso de la funcional de la ecuación se satisface es posible que se prolongue hasta llegar a un punto crítico. Ahora, si usted tiene un ciclo, en lugar de un punto fijo, simplemente reemplace $f$ $f^p$ para obtener el mismo resultado.

El conjunto de Mandelbrot es de matemáticos de interés debido a que en el complejo de la dinámica, el comportamiento global de la dinámica general es gobernado por la dinámica de los puntos críticos. Por lo tanto conocer la dinámica de los puntos críticos dará información sobre todas las dinámicas. En el más simple de la familia $z^2+c$, hay sólo 1 punto crítico (0) y por lo que es natural mirar lo que sucede a su dinámica dependiendo $c$.

Si usted quiere generalizar la noción de conjunto de Mandelbrot, por ejemplo, los polinomios cúbicos $z^3 + az+b$, usted tiene que mirar en el comportamiento de los dos puntos críticos, y por tanto, no sólo se obtiene un conjunto en $\mathbb{C}^2$, también habría que hacer una elección en su definición : están mirando parámetros donde ambos puntos críticos son atraídos a un ciclo, o de uno de ellos, o ninguno ?

En su caso, sólo hay un punto crítico, por lo que su conjunto es una razonable analógica del conjunto de Mandelbrot.

EDIT : tenga en cuenta que la definición del conjunto de Mandelbrot no utiliza la atracción de los ciclos, pero depende de si o no el punto crítico se extiende hacia el infinito. Se cree (es uno de los más importantes de la conjetura en el campo) que el interior del conjunto de Mandelbrot es exactamente compuesto de los parámetros para los que el punto crítico es atraído a un ciclo. Sin embargo es bien sabido que en la frontera del conjunto de Mandelbrot, usted no tiene la atracción de los ciclos.

EDIT 2 : Una de las características más interesantes del conjunto de Mandelbrot es que su límite es exactamente el locus de bifurcación, es decir, el conjunto de parámetros para que el comportamiento de la dinámica cambia drásticamente. Si elige cualquier holomorphic de la familia de holomorphic mapas de $f_\lambda$, también se puede definir el locus de bifurcación para esta familia. Se ha demostrado que este conjunto está vacío o contiene copias del conjunto de Mandelbrot.

Answer 2

Esta es una respuesta parcial, no una respuesta completa. $z_0=\frac{1}{\log(b)}$ es un buen punto de partida $z_0$, de tal manera que la iteración $f(z)\mapsto z-\log_b(z)$ convergerá hacia una cíclico de punto fijo para logarítmica de base de b, si hay una prueba cíclica de punto fijo. El valor de $z_0$ parece que funciona perfectamente para todos los valores de b intentado, y permite la generación de bellas Mandelbrot parcelas para la iteración f(x). En el valor elegido para $z_0$, la derivada de $f(z_0+x)$ es cero. Esto es análogo a la iteración $z^2+c$ partir $z_0=0$, donde la derivada es cero.

Para derivar $z_0$, calcular el valor cero de la primera derivada $\frac{d}{dz}(z-\log_b(z))=1-\frac{1}{z\log(b)}=0$. Resolver para z, llegamos $z\log(b)=1$ y, a continuación,$z_0=\frac{1}{\log(b)}$.

No sé cómo demostrar que funciona. Funciona para todas las bases que he probado. Es útil para la generación de Mandelbrot imágenes para la iteración f(z) en el plano complejo, incluyendo las fotos de abajo. Una vez que usted tiene un valor de $z_0$, es posible hacer que precisa Mandelbrot parcelas, que antes no podía hacer. Naturalmente uno se pregunta cuál es la imagen global de la Mandelbrot para Gottfried la función parece. Me hizo cambiar el escape de los criterios de a $\Re(z)<-4.5$. Esta imagen se utiliza 2000 iteraciones. El centro de "negro" de la región no es la correcta. Para las bases de cerca de cero, la recorre de f(x) de escape al infinito más en lugar de menos infinito. Las líneas de la cuadrícula son de 0,5 espacio aparte, con la imagen que varían desde -1.66 a +1.66. Aviso de la distorsión en el error en el cutline en el eje real para valores negativos de z; la espiral de hecho continúa infinitamente. Haga clic derecho sobre la imagen para ampliar y abrir en una pestaña separada.

La segunda imagen varía de 1,44 = 1.66, con las líneas de la cuadrícula de 1/10. Esta imagen vendría a sustituir a la errónea imagen que he publicado la última vez. Yo también he actualizado imágenes ampliadas de todas las otras imágenes anteriores que he publicado a la pregunta anterior, y también se impecable con el nuevo punto de partida inicial.

Se puede ver en la trama, que el conjunto Mandelbrot se parece a un gigante infinitamente espiral círculo, con centro en b=0, con el radio del círculo como $\exp(0.5)$, el cual será derivado a continuación. Ya sabemos que la principal de 2:1 de la bifurcación se produce en $\exp(0.5)$, desde el anterior post, en esta ecuación. El límite de este círculo sería donde el principal punto fijo pasa de ser la atracción, para ser repugnaba. En el límite, el punto fijo sería neutro. Para f(z), el principal punto fijo es siempre 1. Empezar por asumir que $b(k)=\exp(0.5+ki)$ es el límite, donde k es un número real, variación de +/- infinito. Esta ecuación por b(k) se define una infinita espiral logarítmica de radio exp(0.5). A continuación, se muestra que en el límite de esta espiral, el punto fijo de 1 es indiferente, ni atracción, ni repeler. El punto fijo de 1+delta tiene un derivado cuyo valor absoluto es 1.

La ecuación para calcular la primera derivada en el punto fijo=1 y, a continuación, sustituir en la solución propuesta para la base de $b=\exp(0.5+ki)$.

$f(1+z)-1$

$1+z - \log_b(1+z) - 1$

$1+z - (z-z^2/2+z^3/3....)/\log(b) -1 = z - (z-z^2/2+z^3/3....)/\log(b)$

A continuación, calcula la primera derivada en z=0. Observe que para valores reales de k, s el |deriv|=1, ya que el valor absoluto del numerador y el denominador son iguales.

$(1-1/\log(b)) = \frac{2ki - 1}{2ki+1}$.

Con un poco más de trabajo, esta ecuación también puede ser utilizado para calcular los casos en que el principal punto fijo n-forma en que se producen bifurcaciones, para cualquier valor de n, que yo también derivados y verificado. Para n=2, se obtiene k=0, y sabemos que a partir de un trabajo anterior que el principal punto de bifurcación es exp(0.5).
$k =0.5\tan(0.5\pi-\pi/n)$

Nota de la singularidad para n=1. La iteración f(x) no tiene un principal parabólico cúspide del conjunto de Mandelbrot. Un problema no tengo la solución es que no sé cual es la correcta límite de escape ecuación es. Para los gráficos incluidos en esta respuesta, yo solía $\Re(z)<-4.5$, pero tal vez un valor más grande es necesario. También, para las bases cercano a cero y menor que 1, la función escapa a +infinito en lugar de menos infinito, por lo que el escape criterios también necesita ser fijado por las bases. Yo originalmente había pensado sobre el problema de las bases de>1 solo, y mi escape criterio no es precisa para el complejo de las bases, especialmente negativo complejas bases, y el complejo de las bases de reales(base)<1. Esa es una pregunta aparte.