¿Existe un método habitual para encontrar el polinomio mínimo de los valores trigonométricos?

Question

He estado pensando un poco en encontrar los polinomios mínimos de las longitudes de los lados de los regulares $n$ -giones inscritos en el círculo unitario. Por ejemplo, hace poco quise encontrar el polinomio mínimo de la longitud lateral de un nonágono regular inscrito. Utilizando la ley de los cosenos, pude encontrar que la longitud del lado es $a=\sqrt{2-2\cos(\frac{2\pi}{9})}$ .

Así que $\displaystyle \frac{2-a^2}{2}=\cos \left(\frac{2\pi}{9} \right)$ pero como no puedo expresar $\displaystyle\cos \left(\frac{2\pi}{9} \right)$ en términos de números racionales o sus raíces cuadradas, no estoy seguro de cómo proceder exactamente. ¿Existe un método habitual para atacar valores como éste? Posiblemente para decir $\displaystyle \cos \left(\frac{m\pi}{n} \right)$ ?

Gracias.

Answer 1

Por lo general, es un dolor para hacerlo, por ejemplo para $\displaystyle \cos(\frac {2\pi}9)$ se utiliza la fórmula del coseno de triple ángulo: $$ \cos 3\theta = 4\cos^3(\theta) - 3 \cos (\theta). $$ ya que sustituyendo $\displaystyle \theta = \frac{2\pi}9$ puede evaluar $\displaystyle \cos \left( \frac{2\pi}3 \right) = -1/2$ , lo que le da coeficientes racionales en $\displaystyle \cos \left(\frac{2\pi}9\right)$ . Yo no diría que hay un "método general" porque nunca haría eso en general, sino un truco para calcular el polinomio mínimo de $\displaystyle \cos \left(\frac{m\pi}n \right)$ sería utilizar las identidades trigonométricas para expresar $\cos n\theta$ en un polinomio que está en términos de $\cos \theta$ o al menos $\cos k\theta$ donde $k$ divide $n$ para que cuando se sustituya $\theta = $ su ángulo, se obtiene un ángulo remarcable (como en el $\displaystyle \frac{2\pi}9$ caso, elegimos $3$ en lugar de $9$ ) . Dicho polinomio existe, y se detallan en el siguiente enlace :

http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_trigonometric_identities#Multiple-angle_formulae

Busca las fórmulas de los ángulos múltiples, los polinomios de Tchebyshev y de propagación. Te dan fórmulas para el seno y el coseno.

Por ejemplo, ¿podría calcular el polinomio mínimo de $\displaystyle \cos \left(\frac{7\pi}{16} \right)$ por cualquier razón, ya que los cuartos son ángulos remarcables, yo iría por el $4^{\text{th}}$ Polinomio de Tchebyshev : $T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1$ para que $$ \cos(4 \theta) = 8\cos^4 \theta - 8 \cos^2 \theta + 1, $$ por lo que $\displaystyle \cos \left(\frac{7\pi}4 \right) = 1/\sqrt{2}$ para que $$ (8x^4 - 8x^2 + 1)^2 - 1/2 = 0 $$ sería un polinomio del que $\displaystyle \cos \left(\frac{7\pi}{16} \right)$ es una raíz. Expandiéndola y multiplicándola por $2$ para deshacerse de las fracciones le dará $$ 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 = 0 $$

Answer 2

EDIT : Siguiendo el enfoque de Marty Green, he conseguido encontrar el polinomio mínimo de forma explícita. Creo que ambos (Marty y Dom) lo agradecerán. Escribe $$ 2 \cos \left( \frac{2\pi}9 \right) = \zeta_2 + \zeta_7 $$ donde $\zeta_2$ y $\zeta_7$ son la segunda y la séptima raíz de la unidad, respectivamente. Ahora tratamos de encontrar el polinomio mínimo para $\zeta_2 + \zeta_7$ (si lo encontramos entonces sustituyendo $\zeta_2 + \zeta_7 = x = 2y$ en el polinomio nos da nuestro polinomio deseado). Obsérvese que $$ x^9 -1 = \prod_{d \mid n} \Phi_d(x) = (x-1)(x^2+x+1)(x^6 + x^3 + 1) $$ donde $\Phi_d(x)$ es el polinomio ciclotómico del $d^{\text{th}}$ raíces de la unidad. Ahora bien, como $$ \phi_9(x) = x^6 + x^3 + 1 = \prod_{(i,9)=1}(x-\zeta_i) $$ y desarrollando este producto para obtener los polinomios simétricos en el $\zeta_i$ como coeficientes de $\phi_9(x)$ obtenemos las dos útiles identidades : $$ \sum_{(i,9)=1} \zeta_i = 0, \quad \underset{i \neq j}{\sum_{(i,9)=(j,9)=1}} \zeta_i \zeta_j = 0. $$ Ahora también tenemos la identidad $\zeta_6 + \zeta_3 + 1 = 0$ desde $\zeta_3$ es una raíz de $x^2 + x + 1$ . Por lo tanto, tenemos $$ (x-(\zeta_1 + \zeta_8))(x-(\zeta_2 + \zeta_7))(x-(\zeta_4 + \zeta_5)) = $$ $$ x^3 - ((\zeta_1 + \zeta_8) + (\zeta_2 + \zeta_7) + (\zeta_4 + \zeta_5))x^2 + $$ $$ ((\zeta_1 + \zeta_8)(\zeta_2 + \zeta_7) + (\zeta_1 + \zeta_8)(\zeta_4 + \zeta_5) + (\zeta_2 + \zeta_7)(\zeta_4 + \zeta_5))x $$ $$ - (\zeta_1 + \zeta_8)(\zeta_2 + \zeta_7)(\zeta_4 + \zeta_5). $$ Dado que la suma de las raíces de $\Phi_9$ es $0$ el término cuadrático desaparece. Para el término lineal, observa que todos los pares de raíces aparecen como productos de dos raíces además de las que están juntas en la suma, es decir $\zeta_1 \zeta_8$ , $\zeta_2 \zeta_7$ y $\zeta_4 \zeta_5$ . Por lo tanto, si llamamos al término lineal $\alpha$ , $$ \alpha = \left( \underset{i \neq j}{\sum_{(i,9)=(j,9)=1}} \zeta_i \zeta_j \right) - \zeta_1\zeta_8 - \zeta_2 \zeta_7 - \zeta_4 \zeta_5 = 0 - \zeta_9 - \zeta_9 - \zeta_9 = -3. $$ Ahora para la constante en el final, desarrollarlo manualmente para tener algo como esto : $$ - (\zeta_1 + \zeta_8)(\zeta_2 + \zeta_7)(\zeta_4 + \zeta_5) = $$ $$ - (\zeta_1 \zeta_2 \zeta_4 + \zeta_1 \zeta_2 \zeta_5 + \zeta_1 \zeta_7 \zeta_4 + \zeta_1 \zeta_7 \zeta_5 + $$ $$ \zeta_8 \zeta_2 \zeta_4 + \zeta_8 \zeta_2 \zeta_5 + \zeta_8 \zeta_7 \zeta_4 + \zeta_8 \zeta_7 \zeta_5) = $$ $$ - (\zeta_7 + \zeta_8 + \zeta_3 + \zeta_4 + \zeta_5 + \zeta_6 + \zeta_1 + \zeta_2) = -(\zeta_3 + \zeta_6) = 1 $$ La última línea se debe a que la suma de las raíces es $0$ . Por lo tanto, un polinomio para el que $\zeta_2 + \zeta_7$ es una raíz es $x^3 - 3x + 1$ . Haciendo el cambio de variable para obtener el polinomio para $\cos(2\pi / 9)$ nos da $8x^3 - 6x + 1 = 0$ que es irreducible (hay muchas respuestas posibles a esta cuestión de irreducibilidad: no racionalidad de las raíces, teorema de la raíz racional, etc.) que dejo a tu criterio.

PD: No volveré a hacerlo, es tan doloroso... pero fue divertido. XD Espero que te haya gustado.

Answer 3

Creo que puedo indicarte una forma algebraica muy general de construir cosas como el polinomio mínimo para cos(2π/9 ). Comienza con la ecuación x^9 - 1 = 0, factoriza el factor trivial de (x-1) y obtienes x^8 + x^7 .... + 1 = 0, que tiene ocho raíces. A continuación, factoriza x^2 + x + 1 para deshacerte de las raíces cúbicas de 1, y te quedan seis raíces. Debido a su relación como raíces novenas de la unidad, se pueden enumerar como a, a^2, a^4, a^8, a^16 (=a^7) y a^32 (=a^5). El siguiente término de la serie es a^64, que es igual a a. Podemos llamar a estas raíces r1,r2,r4,r5,r7 y r8. Entonces es fácil elegir las sumas de estas raíces para que sean los cosenos de 40 grados, 80 grados y 160 grados:

r1 + r8

r2 + r7

r4 + r5

Si los llamamos a, b y c, el problema se convierte en la construcción del polinomio simétrico:

abc

ab + bc + ca

a + b + c

La información disponible son los valores de los polinomios simétricos en r1,r2,r4,r5,r7 y r8. (que obtienes directamente del coeficiente de la ecuación de seis grados para las r). Además tienes las relaciones conocidas entre las r, es decir, r1r2 = r3.

Ahora mismo no tengo fuerzas para llevarlo a cabo, pero ya he hecho cosas así en el pasado y la verdad es que es bastante divertido y de alguna manera funciona, si no me equivoco.

Answer 4

Los polinomios de Chebyshev del segundo tipo tienen la propiedad de que:

$$U_n(\cos\theta) = \frac {\sin (n+1)\theta}{\sin \theta}$$

Así que $U_n(x)$ tiene raíces iguales a $\displaystyle \cos\left( {\frac{\pi k}{n+1}}\right)$ .

Hay que eliminar las raíces de $U_8(x)$ que son raíces de polinomios más pequeños.