Mostrar que la secuencia {$\sqrt{5},\sqrt{5+\sqrt{5}},\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5}}},....$} es convergente utilizando el teorema de convergencia monótona

Question

PREGUNTA:
Mostrar que la secuencia {$\sqrt{5},\sqrt{5+\sqrt{5}},\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5}}},\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5+\sqrt{5}}}},....$} es convergente y converge a $\left(\frac{1+\sqrt{21}}{2}\right)$.

MI INTENTO:
La secuencia toma la forma de la recurrencia $x_n=\sqrt{x_{n-1}+5}$. Pero tampoco puedo demostrar que sea monótona creciente ni acotada. Una vez que me han mostrado que no es convergente, yo sé cómo encontrar y mostrar el límite. Me ha hecho demasiado. Pero no puedo probar la convergencia.

SÓLO SUGERENCIAS necesarias.

P. S. no uso de Cauchy principio o cualquier complicada prueba. Yo quiero la respuesta se basa en la monotonía y acotamiento. Para el problema pertenece a ese capítulo sólo.

Answer 1

Sugerencias:

• el uso de la inducción
• si $a_n \gt a_{n-1}$ ¿qué se puede decir acerca de la $\sqrt{5+a_n}$ en comparación con $\sqrt{5+a_{n-1}}$?
• si $a_n \lt 4$ por ejemplo, ¿qué se puede decir acerca de la $\sqrt{5+a_n}$?

Answer 2

¿Has pensado en usar enfoque funcional? considere la posibilidad de $f(x) = \sqrt{x+5}$, y mostrar $f$ es cada vez mayor. Esta se ocupa de la monotonía de $a_n$'s, y se puede mostrar $a_n < 3$ por inducción.