Ecuaciones de Cauchy-Riemann escritas como complejos conjugados

Question

Aparentemente, se puede demostrar que las ecuaciones de Cauchy-Riemann se pueden escribir simplemente como $df/dz^*=0$ . No entiendo cómo no se deduce inmediatamente de esto que $df/dz=0$ .

Cuando probamos las relaciones originalmente, utilizamos $$\frac{df}{dz} = \frac{\delta u+i\delta v}{\delta x+i\delta y}$$ Tomando tanto los límites $\delta x\to0$ y $\delta y \to 0$ y exigiendo que sean iguales para que la derivada esté definida.

Haciendo lo mismo para $df/dz^*$ obtenemos exactamente lo mismo para $\delta x\to 0$ . Como esto tiene que ser cero, ¿no hemos demostrado también que $df/dz=0$ si $df/dz^*$ ¿se define? ¿O me estoy perdiendo algo obvio?

Gracias.

Answer 1

La derivada se define como $$ f'(z) = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+\Delta z) - f(z)}{\Delta z}. $$ Dejemos que $f(z) = u(x,y) + iv(x,y)$ . El límite debe ser el mismo independientemente de cómo lo establezcamos $\Delta z\to 0$ . Supongamos que elegimos sólo valores reales para $\Delta z$ . La parte imaginaria es una constante por lo que la derivada es con respecto a $x$ . $$ f'(z) = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x} $$ Ahora, si mantenemos los reales constantes, tenemos $$ f'(z) = -i\frac{\partial f}{\partial y} = -i\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y} $$ ya que habríamos tenido $$ f'(z) = \lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z+i\Delta z) - f(z)}{i\Delta z}. $$ Por lo tanto, $f_x = -if_y$ o $$ u_x = v_y\qquad\text{and}\qquad u_y = -v_x $$ que son las ecuaciones de Cauchy Riemann. Sea $f(x,y)$ sean unas funciones complejas de variables reales $x,y$ . Sea $z=x+iy$ y $\bar{z}=x-iy$ así que $$ x=(z+\bar{z})/2\qquad\text{and}\qquad y = -i(z-\bar{z})/2. $$ Entonces $$ \frac{\partial f}{\partial z} = 1/2\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr]\qquad\text{and}\qquad \frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 1/2\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr] $$ Recordemos que $f_x = -if_y$ así que $$ \frac{\partial f}{\partial\bar{z}} = 1/2\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr] = 1/2\Bigl[-i\frac{\partial f}{\partial y}+i\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr] = 0. $$ Desde $f_x = -if_y$ , $$ \frac{\partial f}{\partial z} = 1/2\Bigl[\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr] = 1/2\Bigl[-i\frac{\partial f}{\partial y}-i\frac{\partial f}{\partial y}\Bigr] = -i\frac{\partial f}{\partial y}. $$

Answer 2

La derivación dada en la otra respuesta es puramente formal, como señala Ahlfors: (La ecuación (5) es simplemente $$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y},$$ que, por supuesto, es equivalente a las ecuaciones habituales de CR). Fíjate en que dice "si las reglas del cálculo fueron aplicable"; estas manipulaciones son puramente simbólicas, y hay que definir $\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}$ mediante la ecuación $$\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}:=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial f}{\partial x}-\frac{1}{i}\frac{\partial f}{\partial y} \right) .$$ De esto se desprende que la ecuación $$\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}=0$$ es equivalente a las ecuaciones habituales de CR. En realidad no se puede derivar esta ecuación (como se hace en la otra respuesta), porque primero hay que definir $\frac{\partial f}{\partial\bar{z}}$ , y como dice Ahlfors, no tiene una definición conveniente como límite . Si uno se olvida de esto, es fácil engañarse pensando que $\frac{\partial f}{\partial z}=0$ . Pero en realidad $\frac{\partial f}{\partial z}$ es igual a la derivada compleja $f'$ de $f$ Esta es una de las razones por las que este formalismo es conveniente.