Grandes cardenales y $V$

Question

Estoy confundido por algo: $\mu$ es un gran cardenal si $\lambda<\mu\Rightarrow 2^{\lambda}<\mu$ y cualquier unión de menos de $\mu$ conjuntos de tamaño de menos de $\mu$ es de menos de $\mu$. En la Wikipedia dice que "los grandes cardenales se entiende, en el contexto de la von Neumann universo $V$". Pero no es $V$ construido, precisamente, mediante el juego de poder y operaciones de unión?

Sé que no podemos demostrar la existencia de grandes cardenales en $\sf ZFC$, pero si nos adoptó "un gran cardenal existe en $V$" ¿por qué no crear esto una contradicción? ¿Cómo puede algo que existe en $V$ sin ser accesible mediante las herramientas de las $V$ es construido a partir de?

Answer 1

Esta es una buena pregunta, y un punto delicado.

La jerarquía de von Neumann no construir el universo. El universo nos es dado, por los dioses, por nosotros mismos, por parte de quien escribió el texto. Lo que es cierto, sin embargo, es que, dado un universo de $\sf ZF$, entonces podemos demostrar que la jerarquía de von Neumann es una jerarquía que abarca la totalidad del universo. Es decir, cada conjunto en $V$ es en algunos $V_\alpha$.

Pregúntate a ti mismo, si la jerarquía de von Neumann en realidad construye el universo, entonces, ¿de dónde los ordinales? ¿Por qué podemos continuar después de llegar a los números ordinales como la primera $\aleph$ punto fijo? O la primera $\beth$ punto fijo? O el primer ordinal que es a la vez un $\aleph$ $\beth$ punto fijo?

No. El universo está dado.

Podemos, sin embargo, este tramo un poco más. Supongamos que tenemos un universo de satisfacciones $\sf ZF-Fnd$, entonces la jerarquía de von Neumann construcciones de interior modelo $V$ que satisface $\sf ZF$. ¿Por qué podemos decir de la construcción en este contexto? Porque construimos un interior de modelo, pero esto significa que un universo nos es dado ya.

Así que si $\kappa$ es un cardinal inaccesible, que ya existe en el universo. El punto es que el primer paso de cualquier conjunto de cardinalidad $\kappa$ aparece en el de von Neumann de la construcción es $\kappa$. No implica ninguna contradicción, de manera parecida a como la existencia de un cardinal inaccesible implica la consistencia de $\sf ZFC$ no implica una contradicción.

Y para terminar con un punto pequeño, grande cardenales no siempre tiene que ser inaccesible. Consulte acerca de Rowbottom y Jonsson cardenales. O incluso cardenales, consulte acerca de la $0^\#$ (lea: cero sharp) que en realidad es un número real.