¿Por qué los matemáticos utilizan variables de una sola letra?

Question

Tengo mucha más experiencia en programación que en matemáticas avanzadas, así que quizás sea sólo una cuestión de comodidad para mí, pero a menudo me siento frustrado cuando intento seguir la notación matemática. En concreto, me frustra intentar seguir la pista de lo que significa cada variable.

Como programador, esto sería completamente inaceptable por muchos comentarios que se añadieran para explicarlo:

float A(float P, float r, float n, float t) {
  return P * pow(1 + r / n, n * t);
}

Sin embargo, un matemático no tendría ningún problema con esto:

$A = P\ \left(1+\dfrac{r}{n}\right)^{nt}$

donde
$A$ = importe final
$P$ = importe del principal (inversión inicial)
$r$ = tipo de interés nominal anual (en decimales)
$n$ = número de veces que se componen los intereses al año
$t$ = número de años

Entonces, ¿por qué nunca veo lo siguiente?

$\text{final_amount} = \text{principal}\; \left(1+\dfrac{\text{interest_rate}}{\text{periods_per_yr}}\right)^{\text{periods_per_yr}\cdot\text{years}}$

Answer 1

Creo que una de las razones es que a menudo uno no quiere recordar lo que realmente representan los nombres de las variables.

Como ejemplo, cuando elegimos hablar de la matriz $(a_{ij})$ en lugar de la matriz $(\mathrm{TransitionProbability}_{ij})$ Esto expresa el hecho importante de que una vez que hemos formulado nuestro problema en términos de matrices, es perfectamente seguro olvidar de dónde vino el problema originalmente - de hecho, recordar lo que la matriz "realmente" describe podría ser sólo un bagaje psicológico innecesario que nos impide aplicar todas las herramientas lineales-algebraicas a nuestra disposición.

(Como apunte, ¿has visto alguna vez un código escrito por un matemático? Muy a menudo es exactamente igual que tu primer ejemplo).

Answer 2

Somos muy, muy perezosos. Soy muy, muy serio en esto.

NB1: La historia se cuenta en el libro de Florian Cajori sobre la historia de la notación. En tiempos muy antiguos, no había variables (ni fórmulas, en realidad) y todo era increíblemente verboso. El libro de Cajori muestra maravillosamente el larguísimo y tortuoso camino desde aquello hasta la notación moderna de las variables; hay varias secciones relativas a la notación de las incógnitas y de sus potencias.

NB2: Además, solemos tratar con expresiones muy complicadas, por lo que usar nombres verbales para las variables hace las cosas casi imposibles. Escribir la fórmula de la curvatura gaussiana en términos de $E$ , $F$ , $G$ y los símbolos de Christoffel si escribimos $\mathsf{Christoffel}^i_{jk}$ en lugar de $\Gamma^{i}_{jk}$ convertiría la geometría diferencial en una asignatura muerta muy pronto :P

Answer 3

Quizá la razón más convincente para utilizar variables de un solo carácter es que permite la convención habitual de omitir el signo de multiplicación en los productos. Esto permite una gran concisión en la anotación de polinomios, lo cual es importante, ya que los polinomios son omnipresentes en las matemáticas, por lo que cualquier convención que simplifique su notación, comprensión, etc., merece la pena. Así, podemos escribir $\rm\ xyz\ $ para significar $\rm\ x\cdot y\cdot z\ $ sin preocuparse de que se confunda con un nombre de variable.

Aunque tener que insertar los signos de multiplicación no reduce mucho la concisión para un monomio puede aumentar en gran medida la complejidad de un polinomio de muchos términos. Porque puede hacer que las ecuaciones desborden la longitud de la línea/página, etc., dificultando enormemente la comprensión. Además, como demuestran muchos estudios cognitivos, los humanos leen las palabras por su forma (por ejemplo, cubra la mitad superior/inferior de una línea de texto y observe cómo puede seguir leyéndola con facilidad), por lo que cualquier convención que altere las formas (o aumente su complejidad visual) puede inhibir el análisis visual, la coincidencia de patrones y la inferencia global de las características estructurales clave.

Answer 4

Mi profesor de álgebra lineal (J. Komlos) dijo algo que siempre se me ha quedado grabado: debemos usar siempre el el mismo letras para denotar ciertas variables, y diferentes letras para diferentes materias (matemáticas). De este modo, nuestro cerebro es capaz de construir vías mentales para que cuando veamos ciertas letras podamos recordar muchas otras cosas que sabemos sobre ese tema porque asociamos esas letras con ciertos hechos, teoremas, etc.

En realidad, creo que es sobre todo un fenómeno cultural, a la gente de ciencias de la computación le gusta usar acrónimos en parte porque es más claro programar con un acrónimo que con una sola letra. Pero, del mismo modo, a los químicos les gusta usar palabras en latín, los físicos inventan nombres descriptivos para las cosas y los matemáticos inventan palabras nuevas de las que nadie ha oído hablar antes.

Answer 5

Algunas reflexiones:

• No es cierto que no se vean fórmulas como has escrito en la última línea, algo así como $$ \mathrm{velocity} = \frac{\mathrm{displacement}}{\mathrm{time}} $$ De hecho, estaba enseñó álgebra así: empezar con problemas de palabras y escribir expresiones matemáticas con palabras y etiquetas, en lugar de números. Creo que este tipo de notación también se utiliza a menudo en los libros de texto.
• Como dijeron Mariano y Templar en sus respuestas, una de las principales ventajas de la notación corta de una sola letra es la facilidad para copiar. Para los cálculos es mucho más fácil escribir (a mano) letras sueltas que cadenas enteras.
• Otra cuestión similar a la anterior es que es más fácil reconocer visualmente términos idénticos cuando se utilizan letras simples. Por ejemplo, la expresión para el "importe final" que has escrito. Me parece que usar la cadena "periodos_por_año" hace más difícil notar que el mismo término aparece tanto en el denominador dentro de los paréntesis como en el exponente fuera. Algebraicamente es quizás más fácil seguir las estructuras usando letras simples.
• Además, ¿qué pasa cuando se realizan argumentos abstractos en los que las variables no se refieren a nada específico y concreto? ¿Es más fácil de entender la frase "toma tres puntos en el plano, punto_uno, punto_dos y punto_tres..." que "toma tres puntos $P,Q,R$ en el avión..."?
• Por último, en mi tesis doctoral tengo varios cálculos que implican expresiones que ocupan cerca de media página cuando se imprimen. Me estremece pensar en lo que pasaría si utilizara nombres verbales para todos los términos: ¿merece la pena hacer más "legibles" las variables individuales a costa de que cada ecuación ocupe 3 páginas? ¿Mejora realmente la legibilidad general?