Una duda amateur en la teoría de Galois

Question

Buenos días, hoy he leído que "la teoría de los números no es más que el estudio de $\mathrm{Gal}(\mathbb{\bar{Q}}/\mathbb{Q})$ ", aquí http://www.math.uconn.edu/~alozano/elliptic/finding%20points.pdf ¿alguien puede dar una definición muy ingenua de lo que realmente significa?

Además, tengo la duda de que $\bar {\mathbb{Q}}$ es el cierre algebraico de $\mathbb{Q}$ y lo que me confunde es el campo de los números racionales $\mathbb{Q}$ no es un algebraico cerrado ya que existe un polinomio con $a_{1},a_{2},\dotsc,a_{n}\in \mathbb{Q}$ y $(x-a_{1})(x-a_{2})\cdots(x-a_{n})+1$ no tiene cero en $\mathbb{Q}$ .

Entonces, ¿por qué estamos considerando la extensión de campo de $\bar {\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}$ cuando $\mathbb{Q}$ no es algebraicamente cerrado, ¿no contradice la definición de cierre algebraico?

Pero no estoy recibiendo una respuesta que estaba buscando, quiero lo que están pasando detrás de la $\mathrm{Gal}(\mathbb{\bar{Q}}/\mathbb{Q})$ como qué es lo que obtenemos si tomamos el $\mathbb{\bar{Q}/\mathbb{Q}}$ y qué hace tomar el $\mathrm{Gal}(\mathbb{\bar{Q}}/\mathbb{Q})$ dar a alguien,

Gracias

Answer 1

Quizá la introducción más accesible para un "profano muy ingenuo" sea el libro de Ash y Gross Simetría sin miedo. Recuerdo haber leído muchas críticas elogiosas de personas no expertas, así que puede ser precisamente la exposición que buscas. Véase también Los enlaces de Gross a 10 críticas. Creo que algunas de estas reseñas le resultarán bastante informativas.

También puede resultarle interesante este extracto de un entrevista con Richard Taylor.

¿CUÁLES SON SUS PRINCIPALES INTERESES Y LOGROS EN MATERIA DE INVESTIGACIÓN?

El gran problema que me motiva es entender el grupo de Galois absoluto de los números racionales, es decir, el grupo de todos los automorfismos del campo de los números algebraicos (números complejos que son las raíces de polinomios no nulos con coeficientes racionales). Si quieres puedes hablar de todos los grupos de Galois de las extensiones finitas de los números racionales, pero esta es una forma conveniente de ponerlos todos juntos. No hay mucha diferencia, pero es técnicamente más ordenado ponerlos todos juntos. La pregunta que ha motivado casi todo lo que he hecho es: "¿Cuál es la estructura de ese grupo?" Uno de los grandes logros de los matemáticos de la primera mitad de este siglo se llama teoría de campos de clases, y una forma de verlo es como una descripción de todos los cocientes abelianos del grupo de Galois absoluto de Q, o si se quiere, la clasificación de las extensiones abelianas del campo de los números racionales. Eso es sólo una parte muy pequeña de este grupo. El grupo es extremadamente complicado, y sólo describir la parte abeliana no resuelve el problema. Por ejemplo, John Thompson demostró que el grupo de los monstruos es un grupo cociente de este grupo de infinitas maneras.

Existe una especie de programa para entender el resto de este grupo, a menudo denominado Programa Langlands. Hay una enorme masa de conjeturas, de las que sólo estamos empezando a arañar la superficie, que nos dicen cuál es la estructura. La respuesta es, en mi opinión, extremadamente sorprendente; invoca objetos extremadamente diferentes. Se parte de esta estructura algebraica y se acaba utilizando lo que se llama formas modulares, que se relacionan con el análisis complejo.

Parece que hay una respuesta a esta pregunta: ¿cuál es la estructura? Y la respuesta es algo completamente inesperado en términos de estos objetos analíticos, y creo que eso es lo que me atrae del tema. Cuando hay una gran conexión entre dos áreas diferentes de las matemáticas, siempre me parece indicativo de que algo interesante está ocurriendo.

La otra cosa que podemos ver -otra indicación de que es una teoría poderosa- es que uno puede responder a las preguntas que podría haber hecho de todos modos, antes de construir la teoría. Tal vez, el primer ejemplo fue un resultado demostrado por Barry Mazur; proporcionó una descripción de los posibles subgrupos de torsión de las curvas elípticas definidas sobre los números racionales. Era un problema que había estado dando vueltas durante algún tiempo, y es relativamente fácil de enunciar. Utilizando este tipo de ideas, Barry fue capaz de resolverlo.

Otros ejemplos son la prueba de la conjetura principal de la teoría de Iwasawa por Barry Mazur y Andrew Wiles, y el trabajo de Dick Gross y Don Zagier sobre puntos racionales en curvas elípticas. Y supongo que, finalmente, está el último teorema de Fermat, que Andrew Wiles resolvió utilizando de nuevo estas ideas. Así que, de hecho, la historia del último teorema de Fermat es que este matemático alemán Frey se dio cuenta de que si conocías lo suficiente esta correspondencia entre las formas modulares y los grupos de Galois, hay una demostración extraordinariamente rápida del último teorema de Fermat. Y en el momento en que se dio cuenta de esto, no se sabía lo suficiente sobre esta correspondencia. Lo que Andrew Wiles hizo, y Andrew y yo completamos, fue demostrar lo suficiente sobre esta correspondencia para que el argumento de Frey pudiera pasar. Lo que me divierte es que parece que la historia podría haberse invertido fácilmente. Se podrían haber demostrado todas estas cosas sobre la relación entre las formas modulares y los grupos de Galois, y luego podría haber llegado Frey y haber dado casi una prueba de dos líneas del último teorema de Fermat.

Esas cuatro [puntos de torsión, teoría de Iwasawa, Gross y Zagier, Fermat] son probablemente las grandes aplicaciones obvias de este tipo de ideas. Me parece que las aplicaciones han tenido un éxito extraordinario: al menos cuatro cosas que habrían sido reconocidas como problemas importantes independientemente de esta teoría, problemas en los que la gente había pensado antes de las formas modulares.

Answer 2

Yo diría que no es descabellado describir (vagamente) algebraico la teoría de los números como el estudio de los campos de números (los campos de números son los objetos que se obtienen al unir raíces de polinomios como $X^2+1$ a $\mathbb{Q}$ ). Esta es una descripción increíblemente vaga y podría tomarse de muchas maneras, pero, si se permite, entonces, a través de la teoría de Galois (para extensiones de grado infinito de $\mathbb{Q}$ como $\bar{\mathbb{Q}}$ ), los campos numéricos de Galois están (aproximadamente) en biyección con cocientes finitos del grupo de Galois de $\bar{\mathbb{Q}}$ en $\mathbb{Q}$ . (Digo aproximadamente porque realmente la biyección es con subgrupos normales de índice finito del grupo de Galois que son cerrados para una determinada topología). Por ejemplo, una especie de pregunta natural en la teoría algebraica de los números sería "¿qué grupos finitos aparecen como grupos de Galois de extensiones de campos de Galois de $\mathbb{Q}$ ?" Esto equivale a la pregunta "¿cuáles son los cocientes finitos del grupo de Galois de $\bar{\mathbb{Q}}$ en $\mathbb{Q}$ ?"

Answer 3

Tal vez quiera decirnos dónde leyó esa cita, el contexto podría ser útil para determinar las intenciones del autor. Supongo que no pretendía tomarse demasiado en serio, y te recomendaría que lo tomaras sólo como que hay algunas cosas en la Teoría de Números que puedes entender mejor si sabes algo sobre ese grupo de Galois.

Si quieres investigar más, una buena frase clave es "grupo de Galois absoluto".

Answer 4

El objeto $\mathrm{Gal}(\mathbb{\bar{Q}}/\mathbb{Q})$ no es sólo un grupo abstracto; también tiene una topología natural e intrincada. Entonces, uno consideraría varias acciones continuas naturales de este grupo topológico sobre varios módulos. Dos ejemplos son: El grupo de Galois absoluto de un campo numérico actúa naturalmente sobre las raíces de la unidad contenidas en ese campo, o, dada una curva elíptica sobre el campo, el grupo de Galois actúa sobre los puntos de torsión de la curva elíptica con coordenadas contenidas en el campo.

También se consideran algunas representaciones naturales de este grupo de Galois sobre algunos espacios vectoriales. Los ejemplos pueden construirse a partir de la descripción anterior de las acciones de Galois. El estudio de estas acciones encapsula gran parte de la teoría de los números. Acciones de Galois y Representaciones de Galois . Esto es quizás lo que quiere decir la afirmación que usted cita.